Spazio-tempo di Minkowski

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Lo spazio-tempo di Minkowski (M⁴ o semplicemente M) è una 4-varietà metrica a curvatura nulla che prende il nome del suo scopritore, il matematico tedesco Hermann Minkowski.

Fino all'epoca pre-einsteniana lo spazio tridimensionale era tenuto ben distinto dal tempo ed entrambi erano considerati assoluti. I lavori di Jules-Henri Poincaré, Lorentz e, soprattutto, la relatività speciale (1905) di Albert Einstein dimostrarono che invece lo spazio ed il tempo sono indissolubilmente legati tra loro. Il nostro universo, che era rappresentato da uno spazio R³, cioè a 3 dimensioni, e dal tempo, diviene, con l'avvento della relatività speciale, uno spazio-tempo R⁴ (o anche R^1,3) cioè a 4 dimensioni.

Nel 1907 Hermann Minkowski si dedicò allo studio di questa nuova entità 4-dimensionale dandole un appropriato formalismo matematico che verrà descritto più avanti.

Lo spazio-tempo di Minkowski descrive eccellentemente la nostra realtà quotidiana ma non quella cosmologica perché non tiene conto della curvatura dello spazio. Ciò che era valido per la relatività speciale, non lo è più dopo l'enunciazione della relatività generale (1917) che, incorporando la forza di gravità, descrive uno spazio-tempo a curvatura non nulla (o più semplicemente curvo). Lo spazio-tempo di Minkowski, in ultima analisi, non descrive con precisione il nostro universo perché è uno spazio-tempo a curvatura nulla (vale a dire piatto). Questi concetti hanno avuto un'influenza enorme nell'evolversi delle teorie in campo fisico. Infatti la fisica quantistica opera nell'ambito dello spazio-tempo di Minkowski in quanto non contempla la forza di gravità.

È evidente che per descrivere l'universo in cui vivamo bisognerà conciliare la fisica quantistica con la forza di gravità mediante una nuova teoria più generale la cui definizione è uno dei principali obiettivi di tutta la fisica moderna. Allo stato attuale gli sforzi maggiori sono indirizzati alla quantizzazione della gravità in una teoria coerente che viene detta gravità quantistica. Questa teoria può apparire limitata perché prende in considerazione soltanto la meccanica quantistica e la gravità ed ignora, per il momento, l'integrazione con le forze elettromagnetica, debole e forte, la cui unificazione viene considerata ormai compiuta. Ma la strada verso una teoria fisica completa, come ad esempio la teoria delle stringhe o la teoria M, passa attraverso la soluzione di questo problema. Si ritiene che l'integrazione tra meccanica quantistica e relatività generale possa condurre allo studio delle prime fasi del big bang e dell'origine del tempo e dello spazio (che potrebbero anche non coincidere).

Indice 1 Struttura 1.1 Il prodotto interno di Minkowski 1.2 Base standard 1.3 Quadrivettori 2 Definizione Alternativa 3 Trasformazioni di Lorentz 4 Struttura causale 5 Spazio-tempo localmente piatto

[modifica] Struttura

Dal punto di vista formale lo spazio-tempo di Minkowski ( o più semplicemente spazio di Minkowski) è uno spazio vettoriale reale quadri-dimensionale dotato di forma bilineare simmetrica non degenere con segno (+,-,-,-) (secondo i fisici delle alte energie). Il segno complessivo è una questione di convenzione e molti preferiscono utilizzare il segno (-,+,+,+) (usato dai fisici relativisti). Come già detto, lo spazio di Minkowski è spesso identificato dal simbolo R^1,3 per puntualizzare il segno; talvolta viene anche utilizzato il simbolo M⁴ o più semplicemente M.

[modifica] Il prodotto interno di Minkowski

Il prodotto interno tra due vettori v e w nello spazio di Minkowski è una mappa M × M → R, indicata da <v, w>, che soddisfa quattro proprietà, tre delle quali sono

1. bilineare: <au + v, w> = a<u, w> + <v, w>, per tutte le a, u, v, e w
2. simmetrico: <v, w> = <w, v> per tutte le v e w
3. non degenere: se <v, w> = 0 per tutte le w allora v = 0,

dove a è in R e u, v, w sono vettori in M.

Da notare che questo non è un prodotto interno nel senso comune del termine perché non è definito positivo. Per esempio, il quadrato della norma di un vettore v, definito come ||v||² = <v, v>, non deve necessariamente essere positivo. La condizione positivo-definita è stata sostituita da una condizione più debole di non degenerazione (ogni forma definita positiva è non degenere ma non viceversa).

Come in uno spazio euclideo', due vettori sono detti ortogonali se <v, w> = 0. Un vettore v è detto unità vettore se ||v||² = ±1. Una base per M consistente in unità vettori reciprocamente ortogonali è chiamata base ortonormale.

Vi è un teorema che stabilisce che ogni spazio di prodotto interno che soddisfa le condizioni 1-3 sopra riportate ha sempre una base ortonormale. Inoltre il teorema stabilisce che il numero di unità vettore positiva e negativa in ciascuna di dette basi è fisso. Questa coppia di numeri è detta il segno del prodotto interno.

Si può quindi stabilire la quarta condizione del prodotto interno di Minkowski:

[modifica] Base standard

Una base standard per lo spazio di Minkowski è una serie di quattro vettori reciprocamente ortogonali (e₀, e₁, e₂, e₃) così che:

Queste condizioni possono essere scritte in maniera compatta nella seguente forma:

dove μ e ν superano i valori (0, 1, 2, 3) e la matrice η è data da:

Relativamente ad una base standard, i componenti di un vettore v sono scritti (v⁰, v¹, v², v³) e si usa la notazione di Einstein per scrivere v = v^μe_μ. Il componente v⁰ è chiamato componente temporale di v mentre gli altre tre componenti sono chiamati componenti spaziali.

In termini di componenti, il prodotto interno tra due vettori v e w è dato da:

e il quadrato della norma di un vettore v è:

[modifica] Quadrivettori

I vettori nello spazio di Minkowski sono detti anche quadrivettori allo scopo di distinguerli dai vettori spaziali tridimensionali. In questa voce, comunque, i due termini sono intercambiabili. Piuttosto ci si può riferire alla componente spaziale di un quadrivettore (che, naturalmente, dipende dalla scelta della base).

[modifica] Definizione Alternativa

Più sopra lo spazio di Minkowski è stato definito come uno spazio vettoriale. Vi è una definizione alternativa, spazio affine, che vede lo spazio di Minkowski come uno spazio omogeneo del gruppo di Poincarè con il gruppo di Lorentz come stabilizzatore. Si veda il programma di Erlangen Programma di Erlangen.

[modifica] Trasformazioni di Lorentz

Vedi: Trasformazione di Lorentz, Simmetria di Poincaré, Gruppo di Poincarè.

[modifica] Struttura causale

I quadrivettori sono classificati secondo il segno del quadrato della loro norma. I vettori sono detti temporale o spaziali se i quadrati delle loro norme sono sono positivi o negativi, rispettivamente.

I vettori con norma zero sono chiamati nulli o tipo luce. Questa terminologia deriva dall'uso dello spazio di Minkowski nella teoria della relatività. La serie di tutti i vettori tipo luce sono detti cono di luce.

Una volta scelta la direzione del tempo, i vettori temporale e nullo possono essere ulteriormente scomposti in varie classi. Per i vettori spaziali si ha:

1. vettori temporali futuri la cui prima componente è positiva, e
2. vettori temporali passati la cui prima componente è negativa.

I vettori nulli sono suddivisi in tre classi:

1. il vettore zero le cui compponenti in ogni base sono (0,0,0,0),
2. i vettori nulli futuri la cui prima componente è positiva, e
3. vettori nulli passati la cui prima componente è negativa.

Considerando anche i vettori spaziali si hanno in tutto 6 classi.

Una base ortonormale dello spazio di Minkowski cosiste di un'unità vettore temporale e di tre unità vettori spaziali. Se si volesse lavorare con basi non ortonormali si potrebbero avere altre combinazioni di vettori. Per esempio, si può facilmente costruire una base non ortonormale consistente interamente di vettori nulli, chiamata base nulla.

[modifica] Spazio-tempo localmente piatto

In senso stretto l'uso dello spazio di Minkowski per descrivere i sistemi fisici su distanze infinite si applica solo nel limite newtoniano dei sistemi senza gravitazione significativa. In caso di gravitazione significativa, lo spazio tempo diventa curvo e si deve abbandonare la relatività speciale per la più completa relatività generale.

Nonostante ciò anche in questo caso lo spazio di Minkowski dà ancora una buona descrizione di una regione infinitesima che circonda tutti i punti (tranne le singolarità gravitazionali). In senso più astratto si può dire che in presenza di gravità lo spazio-tempo viene descritto da una varietà curva a 4 dimensioni per la quale lo spazio tangente ad ogni punto è uno spazio di Minkowski a 4 dimensioni. Quindi, la struttura dello spazio di Minkowski è ancora essenziale nella descrizione della relatività generale.

Quando la gravità è estremamente debole lo spazio-tempo diviene piatto così da apparire totalmente, non solo localmente, come spazio di Minkowski. Per questo motivo lo spazio di Minkowski viene spesso definito come uno spazio-tempo piatto.

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