Trasformazione di Lorentz

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Hendrik Antoon Lorentz in un pittura di Menso Kamerlingh Onnes

Le trasformazioni di Lorentz, che prendono il nome dal loro scopritore, il fisico e matematico Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), furono inizialmente introdotte per rimuovere le contraddizioni esistenti tra elettromagnetismo e meccanica classica e spiegare i risultati nulli dell'esperimento di Michelson-Morley tramite l'introduzione del fenomeno della contrazione delle lunghezze. Sotto di esse le equazioni dell'elettromagnetismo rimangono invarianti nel passaggio tra due sistemi di riferimento tra loro in moto relativo.

Le trasformazioni di Lorentz sono alla base della formulazione matematica della teoria della relatività ristretta (o speciale) di Einstein. In relatività, queste trasformazioni discendono dal postulato di invarianza della velocità della luce.

Indice

1 Trasformazioni di Lorentz tra due sistemi di riferimento inerziali in configurazione standard
2 Trasformazioni di Lorentz generiche
3 Limite galileiano
4 Struttura di gruppo
5 Storia
6 Voci correlate

[modifica] Trasformazioni di Lorentz tra due sistemi di riferimento inerziali in configurazione standard

Una trasformazione di Lorentz (detta anche boost) è una trasformazione lineare con cui ricaviamo, a partire dalle coordinate nel sistema di riferimento $S$ $(t, x, y, z)$ , le coordinate rispetto al sistema di riferimento $S'$ $(t', x', y', z')$ di un evento nello spaziotempo. Senza perdere di generalità, si può assumere che $S'$ abbia i tre assi spaziali paralleli a quelli di $S$ , che il sistema $S'$ si muova con velocità v lungo l'asse x di $S$ e che le origini dei due sistemi di riferimento coincidano per $t' = t = 0$ . Questi due sistemi di riferimento sono detti in condizioni standard. Sotto queste condizioni le trasformazioni di Lorentz assumono la forma:

$\begin{cases} t' = \gamma \left(t - \frac{v}{c^{2}}x \right) \\ x' = \gamma \left(x - v t \right) \\ y' = y \\ z' = z \end{cases}$

dove

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

è chiamato fattore di Lorentz e $c$ è la velocità della luce nel vuoto. Introducendo il quadrivettore:

$x^\mu = \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}$

le quattro equazioni riportate sopra possono essere espresse insieme sotto forma di matrice come:

$x'^\lambda = \Lambda^\lambda{}_\mu x^\mu \quad \mbox{ovvero} \quad \begin{bmatrix} c t' \\x' \\y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{v}{c} \gamma&0&0\\ -\frac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t\\x\\y\\z \end{bmatrix}.$

Da questa formulazione è possibile dimostrare che rimane invariato l'intervallo:

d s 2 = (c d t) 2 - d x 2 - d y 2 - d z 2

che è quindi un invariante di Lorentz.

[modifica] Trasformazioni di Lorentz generiche

Le trasformazioni viste in precedenza valgono solo se la velocità v è parallela all'asse x di $S$ . Nel caso generale è sempre possibile effettuare una rotazione che porti la velocità lungo l'asse x e che permetta quindi di applicare la trasformazione nella forma vista in precedenza.

Per una trasformazione in una direzione arbitraria è conveniente scomporre il vettore spaziale x in componenti perpendicolari e paralleli alla velocità v:

$\mathbf{x}=\mathbf{x}_\perp+\mathbf{x}_\|$

Si osserva che solo la componente $\mathbf{x}_\|$ nella direzione di v viene deformata dal fattore $γ$ :

$\begin{cases} t' = \gamma \left(t - \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{x}}{c^{2}} \right) \\ \mathbf{x'} = \mathbf{x}_\perp + \gamma (\mathbf{x}_\| - \mathbf{v} t) \end{cases}$

La seconda espressione può essere riscritta come:

$\mathbf{x'} = \mathbf{x} + \left(\frac{\gamma -1}{v^2} (\mathbf{x} \cdot \mathbf{v}) - \gamma t \right) \mathbf{v}$

da cui ricaviamo la forma matriciale:

$\begin{bmatrix} ct' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \gamma \begin{bmatrix} 1 & -\frac{v_x}{c} & -\frac{v_y}{c} & -\frac{v_z}{c} \\ -\frac{v}{c} & 1+\frac{(\gamma-1)}{\gamma}\frac{v_x}{v} & \frac{(\gamma-1)}{\gamma}\frac{v_y}{v} & \frac{(\gamma-1)}{\gamma}\frac{v_z}{v} \\ -\frac{v}{c} & \frac{(\gamma-1)}{\gamma}\frac{v_x}{v} & 1+\frac{(\gamma-1)}{\gamma}\frac{v_y}{v} & \frac{(\gamma-1)}{\gamma}\frac{v_z}{v} \\ -\frac{v}{c} & \frac{(\gamma-1)}{\gamma}\frac{v_x}{v} & \frac{(\gamma-1)}{\gamma}\frac{v_y}{v} & 1+\frac{(\gamma-1)}{\gamma}\frac{v_z}{v} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}$

[modifica] Limite galileiano

Per velocità molto piccole rispetto a quella della luce, le trasformazioni di Lorentz si riconducono a quelle di Galileo:

$\begin{cases} t' = t \\ x' = \left(x - v t \right) \\ y' = y \\ z' = z \end{cases}$

le quali si ricavano facendo il limite delle trasformazioni di Lorentz per $c \to \infty$ . Quindi per velocità piccole non si osservano più fenomeni come la perdità della contemporaneità, la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze, il che spiega perché nella vita quotidiana noi non osserviamo nessuno di questi fenomeni.

[modifica] Struttura di gruppo

L'insieme di tutte le trasformazioni di Lorentz forma un gruppo, detto appunto gruppo di Lorentz, che risulta essere un sottogruppo del gruppo di Poincarè. Più precisamente, il gruppo di Poincarè include anche le traslazioni del sistema di riferimento.

Le trasformazioni di Lorentz con $\det (\Lambda ^a{}_b) \, = + 1$ formano un sottogruppo detto gruppo proprio di Lorentz che è formato dai boosts e dalle rotazioni spaziali. Le trasformazioni con $\det (\Lambda ^a{}_b) \, = - 1$ formano un sottogruppo detto gruppo improprio di Lorentz che è formato da riflessioni spaziali e temporali.

Nel programma di Erlangen, lo spazio di Minkowski può essere visto come la geometria definita dal gruppo di Poincarè che combina le trasformazioni di Lorentz con le traslazioni.

[modifica] Storia

Le trasformazioni di Lorentz furono scoperte e pubblicate per la prima volta da Joseph Larmor nel 1897. Nel 1905, Henri Poincaré, il famoso matematico francese, battezzò queste trasformazioni in onore del fisico e matematico olandese Hendrik Antoon Lorentz, il quale aveva pubblicato la propria versione finale nel 1904. Fu lo stesso Poincarè che revisionò il formalismo delle trasformazioni per convertirle nella forma coerente e del tutto solida che conosciamo oggi.

Lorentz scoprì nel 1900 che la trasformazione preservava le equazioni di Maxwell. Egli credeva nell'ipotesi dell'etere; fu Albert Einstein, sviluppando la teoria della relatività, che diede un appropriato fondamento alla sua applicazione.

[modifica] Voci correlate

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