Spazio affine
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Lo spazio affine è una struttura matematica simile a quella di spazio vettoriale. Intuitivamente, uno spazio affine è uno spazio vettoriale "senza un'origine" (cioè "senza punto centrale"). Come gli spazi vettoriali, quelli affini vengono studiati con l'ausilio dell'algebra lineare.
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[modifica] Definizione
Formalmente, uno spazio affine E è un insieme dotato di una funzione
a valori in uno spazio vettoriale V che esprime, dati due punti p e q di E, il "vettore da p a q". Questo vettore può essere indicato con φ(p,q), 
o più brevemente con p − q. La funzione φ deve soddisfare ovviamente alcuni requisiti:
- per ogni p fissato, la mappa che associa a q il vettore p - q è una biiezione da E in V;
- per ogni p, q, r abbiamo
- (p − q) + (q − r) = p − r
[modifica] Proprietà
- Dato un punto p in E ed un vettore v in V, possiamo definire il punto p + v in E come l'unico punto q tale che p - q = v.
- Ogni spazio vettoriale V è uno spazio affine, basta definire p - q come l'usuale differenza fra vettori.
[modifica] Sottospazi affini
Un sottospazio affine F di E è un sottoinsieme del tipo
dove p è un punto fissato, che risulta appartenere al sottospazio. La dimensione di F è definita come la dimensione di W.
Lo stesso sottospazio affine F può essere definito come q + W per un qualsiasi q in F, a conferma che nella geometria affine "non ci sono punti privilegiati". Il sottospazio vettoriale W è detto la giacitura di F. La dimensione di F è quindi definita come la dimensione di W.
Il sottospazio affine generato da alcuni punti 
in E è il più piccolo sottospazio che li contiene.
Per quanto detto sopra, uno spazio vettoriale V è anche affine, e quindi abbiamo definito anche la nozione di sottospazio affine di V: in questo caso, un sottospazio affine è il risultato di una traslazione di un sottospazio vettoriale W lungo il vettore p.
Due sottospazi affini sono incidenti quando hanno intersezione non vuota. Sono paralleli quando una delle due giaciture è contenuta nell'altra. Sono sghembi in tutti gli altri casi.
Per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann: questo è il prezzo da pagare per aver "costretto" i sottospazi a passare per un punto fissato. La geometria proiettiva risolve questo problema (cioè recupera la formula di Grasmann) aggiungendo allo spazio dei "punti all'infinito".
