선택 공리
위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.
선택 공리란 공집합이 아닌 집합들을 원소로 갖는 집합족이 주어졌을 때, 각각의 집합에서 하나씩의 원소를 빼내어 새로운 집합을 만들 수 있다는 내용의 공리이다.
1904년 에른스트 체르멜로(Ernst Zermelo)가 자신의 논문 모든 집합은 정렬가능하다는 증명(Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann)에서 처음으로 정확하게 기술하여 학계의 주목을 끌었다. 일견 이 진술은 너무나 당연한 것 같다. 그러나, 이 공리를 인정하면, 구 하나를 유한개로 분할하여, 조각들을 다시 모아, 원래의 구와 같은 체적의 구를 두개 만들 수 있는 등, 매우 비상식적인 결론을 가져온다. 따라서, 이 공리를 인정하지 않는 수학자도 있다. 그러나, 이 공리가 없으면 증명할 수 없는 명제들도 많다.
다음은 선택공리 없이 증명할 수 없는 명제의 예이다.
- 모든 벡터공간은 기저를 갖는다.
- 모든 무한집합은 가산무한집합을 부분집합으로 갖는다.
[편집] 정의
임의의 집합 A 에 대해, 그 집합의 원소 a 가 공집합이 아닌 집합이면, 각각의 원소인 집합 a 에서 하나씩 원소 b∈a 를 꺼내어(정확하게는 f(a) = b 인 함수 f 가 존재하여) 새로운 집합 B를 만들 수 있다.
[편집] 동치 명제들
{Aλ}λ∈Λ 를 어느 것도 공집합이 아닌 집합들의 집합이라 하면, 집합들의 직적
도 공집합이 아니다.
