Axiome du choix

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L'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie axiomatique des ensembles.

Sommaire

1 Énoncé
2 Autres formulations
3 Particularités
4 Anecdote
5 Exemples où l'axiome du choix est nécessaire
6 Formes faibles de l'axiome de choix
- 6.1 Axiome du choix dénombrable
- 6.2 Axiome du choix dépendant
7 Voir aussi
- 7.1 Articles connexes
- 7.2 Lien externe

[modifier] Énoncé

« Étant donnée une famille d'ensembles non vides, il existe une fonction qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. »

Ce qui se traduit formellement par :

Pour tout ensemble C inclus dans P(E), P(E) étant l'ensemble des parties d'un ensemble E,

il existe une fonction $f:C \to E$ dite fonction de choix telle que : $\forall X \in C, f(X) \in X$ .

[modifier] Autres formulations

Il existe d'autres formulations de cet axiome, dont les suivantes :

« Le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide »,
théorème de Zermelo : « tout ensemble est bien ordonnable (c'est-à-dire peut être muni d'une structure de bon ordre) »,
lemme de Zorn : « tout ensemble inductif admet un élément maximal ».

[modifier] Particularités

Cet axiome fait partie des axiomes optionnels et controversés de la théorie des ensembles. En effet, l'existence d'un objet défini à partir de l'axiome du choix n'est pas une existence constructive, c’est-à-dire que l'axiome ne décrit aucunement comment construire l'objet dont on affirme l'existence. Ainsi, dire qu'il existe une base de l'espace vectoriel des fonctions continues ne permet en aucune façon de dire comment décrire une telle base. De ce point de vue, l'axiome du choix peut paraître d'un intérêt limité et c'est pourquoi certains mathématiciens se montrent plus satisfaits d'une démonstration s'ils peuvent éviter d'avoir recours à cet axiome du choix. Mais la plupart des mathématiciens l'utilisent sans réticence particulière.

L'axiome du choix ne fait pas partie du jeu d'axiomes de la théorie des ensembles ZF. On appelle théorie ZFC, la théorie ZF munie en plus de l'axiome du choix.

[modifier] Anecdote

Bertrand Russell disait à propos de l'axiome du choix : Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine.

Explication :

Quand on dispose d'une paire de chaussettes quelconque, on n'a aucun moyen a priori de distinguer une chaussette de l'autre, ce sont des objets a priori identiques et même si chaque matin on arrive à choisir laquelle on va mettre en premier, on serait bien en peine de trouver un procédé général (algorithme) qui nous permette de renouveler l'exploit éternellement.
Pour les chaussures, il existe un moyen de choisir qui marche tout le temps (une fonction de choix naturelle) : choisir toujours la chaussure gauche (ou droite) puisqu'il y a toujours une chaussure gauche et une chaussure droite. On dispose ainsi d'un algorithme simple.

Il semble cependant qu'il faille tempérer le pessimisme de Russell^[1].

[modifier] Exemples où l'axiome du choix est nécessaire

Soit $\varphi$ une application surjective d'un ensemble $E$ sur un ensemble $F$ . Alors il existe une application injective de $F$ dans $E$ . En effet, pour tout $y$ de $F$ , considérons la partie $C_y = \varphi^{-1}(\{y\})$ de E, constituée des antécédents de $y$ par $\varphi$ et $C$ l'ensemble de ces parties $C y$ . D'après l'axiome du choix, il existe une fonction de choix $f : C \to E$ telle que, pour tout $y$ de $F$ , on ait $f(C_y) \in C_y$ . Posons alors $ψ$ de $F$ dans $E$ définie par $ψ(y) = f (C y)$ . $ψ$ associe à chaque élément $y$ de $F$ un antécédent particulier de $y$ par $\varphi$ . On peut alors vérifier que $ψ$ est injective.

A noter que, inversement, si

ψ

est une application injective de

F

non vide dans

E

, alors il existe une application surjective $\varphi$ de

E

dans

F

, mais ce résultat n'utilise pas l'axiome du choix. En effet,

F

étant non vide, il existe

a

dans

F

. Il suffit alors de définir $\varphi$ de la façon suivante. $\varphi(x)=y$ si

x

possède comme antécédent (unique)

y

par

ψ

, et $\varphi(x)=a$ si $x \notin \psi(F)$ .

Soit R une relation d'équivalence définie par : $\forall x,y \in \mathbb{R}, xRy \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Q}$ . On définit l'ensemble S en prenant un et un seul élément de chaque classe d'équivalence. Pour ce faire, on est obligé d'utiliser l'axiome du choix car on ne connait pas de fonction qui retourne un et un seul élément de chaque classe d'équivalence, donc on ne peut qu'affirmer l'existence de cet ensemble car on est incapable de le construire en pratique. Pour des exemples concrets, voir Ensemble non mesurable.

L'ensemble externe $* R$ des hyperréels doit son existence à l'axiome de choix

[modifier] Formes faibles de l'axiome de choix

Il existe des formes faibles de l'axiome du choix que le mathématicien utilise couramment, la plupart du temps sans s'en apercevoir à moins d'être logicien ou « constructiviste », et qui servent à « construire » des suites. Ils sont absolument indispensables pour l'exposé usuel des fondements de l'analyse.

[modifier] Axiome du choix dénombrable

Cet axiome, abrégé en « AD », est la restriction de l'axiome du choix aux familles dénombrables :

« Etant donnée une famille dénombrable d'ensembles non vides, il existe une fonction qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. »

Il est par exemple utilisé pour démontrer qu'une fonction f définie sur R est continue en 0 ssi f(x_n) tend vers f(0) pour toute suite (x_n) tendant vers 0. Il permet aussi de démontrer qu'un produit dénombrable d'espaces compacts est compact, ou encore le théorème de Hahn-Banach pour un espace de Banach séparable. Il permet également de démontrer le théorème des complets emboîtés (dont l'une des conséquences est le théorème de Baire).

Attention à une confusion courante: c'est la famille d'ensembles qui est dénombrable, aucune hypothèse n'étant faite sur les ensembles composant cette famille. L'axiome du choix dénombrable ne concerne pas la question du choix d'un élément dans un ensemble dénombrable mais la possibilité de faire une infinité dénombrable de choix simultanément.

[modifier] Axiome du choix dépendant

Cet axiome, abrégé en « DC », assure que, si R est une relation sur un ensemble non vide E vérifiant

$\forall x \in E\ \exists y \in E\ xRy$ ,

il existe une suite (x_n) d'éléments de E telle que

$\forall n\ x_nRx_{n+1}$ .

L'axiome DC implique l'axiome AD, sans que cela soit évident. Il est par exemple utilisé dans axiome de fondation et plus généralement relation bien fondée pour établir l'équivalence de deux définitions.