페아노의 공리
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페아노의 공리(Peano axioms)는 자연수의 개념을 공리적으로 규정하기 위한 5가지 공리이다. 이탈리아의 수학자 주세페 페아노가 제안하였다.
[편집] 공리
다음은 5가지 공리이다.
- 0은 자연수이다.
- 모든 자연수 n은 그 다음 수 n'을 갖는다.
- 0은 어떤 자연수의 그 다음 수도 아니다. 즉, 모든 자연수 n에 대해 0≠n'이다.
- 두 자연수의 그 다음 수들이 같다면, 원래의 두 수는 같다. 즉, a' = b'이면 a = b이다.
- 어떤 자연수들의 집합이 0을 포함하고, 그 집합의 모든 원소에 대해 그 다음 수를 포함하면, 그 집합은 자연수 전체의 집합이다.
여기에서 0 대신 1을 사용해도 논리적으로는 문제가 없다. 하지만 덧셈과 곱셈을 정의할 때에는 원래의 식과는 약간 다른 식을 사용해야 한다.
[편집] 이항 연산
덧셈은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.
- a + 0 = a
- a + b' = (a + b)'
덧셈과 0' = 1의 정의에 의해, b' = (b + 0)' = b + 0' = b + 1가 성립한다. 따라서, 어떤 수 b의 다음 수는 b + 1이 됨을 증명할 수 있다.
곱셈은 다음과 같이 정의할 수 있다.
- a * 0 = 0
- a * Sb = (a * b) + a
덧셈과 곱셈의 정의를 이용하면, 분배 법칙을 증명할 수 있다.
- a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
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