Peanovy axiomy
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
V matematice jsou Peanovy axiomy množina axiomů, jejichž prostřednictvím je určena Peanova aritmetika. Pomocí axiomů lze sestrojit důležité číselné struktury - zejména přirozená čísla. Jejich autorem je Giuseppe Peano.
Obsah |
[editovat] Zápis axiomů
[editovat] Slovní zápis
- 0 je přirozené číslo.
- Ke každému přirozenému číslu existuje přirozené číslo, které je jeho následovníkem.
- Číslo 0 není následovníkem žádného přirozeného čísla.
- Různá přirozená čísla mají různé následovníky.
- Pokud pro nějakou vlastnost přirozených čísel platí, že ji má 0 a z toho, že ji má libovolné přirozené číslo plyne i to, že ji má jeho následovník, pak tuto vlastnost musí mít všechna přirozená čísla.
[editovat] Matematicky formální zápis
.
- Nechť je φ(x) formule jazyka Peanovy aritmetiky s právě jednou volnou proměnnou x. Pak
je axiom.
[editovat] Význam
Pátý z těchto axiomů, nazývaný axiom nebo metaaxiom indukce, je vlastně obecným návodem, jak v dané aritmetice sestrojit další axiomy. Tento axiom umožňuje na množinách izomorfních s přirozenými čísly používat důkaz indukcí.
Takto zapsanými axiomy je sestrojena množina přirozených čísel začínající nulou. Pokud tato množina nulu obsahovat nemá, lze v těchto axiomech nahradit symbol 0 symbolem 1, pro množinu samotnou se tím nic nezmění.
