Divergentie (wiskunde)

Divergentie is een functie van een vectorveld. Vatten we het veld op als een stroming, dan geeft de divergentie voor elk punt aan of in dat punt iets toestroomt of wegstroomt, dus waar het veld een put (divergentie negatief) of een bron (divergentie positief) heeft. De grootte van de divergentie is een maat voor de put- of bronsterkte.

[bewerk] Voorbeeld

Een dunne straal olie treft een glad wateroppervlak in het punt Q. De olie verspreidt zich als een dunne film vanaf Q in alle richtingen. De oliestroming kan beschreven worden door een 2-dimensionaal vectorveld, dat in elk punt de richting en sterkte van de stroomsnelheid van de oliefilm aangeeft.

Het punt Q is voor het veld een (olie)bron, aangezien vandaar olie wegvloeit (niet weg uit het veld, maar weg van Q) zonder dat olie toestroomt. De divergentie in (de buurt van) Q is positief.

De divergentiestelling of de stelling van Gauss zegt, dat de hoeveelheid olie die uit (eigenlijk door) bijvoorbeeld een cirkel om de bron Q stroomt, gelijk is aan de integraal van de divergentie van het vectorveld over de cirkelschijf.

De divergentie laat zich formeel als differentiaaloperator interpreteren en hoort samen met de andere differentiaaloperatoren gradiënt en rotatie tot de vectoranalyse, een deelgebied van de meerdimensionale analyse.

[bewerk] Definitie

De divergentie van een vectorveld F is een scalair veld aangegeven met div F of met behulp van de nabla-operator als ∇· F.

In het geval van een 3-dimensionaal vectorveld $F (x, y, z)$ is de divergentie in cartesische coördinaten gedefinieerd als

$\operatorname{div} F=\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y}+ \frac{\partial F_z}{\partial z}= \nabla\cdot\vec F$

In n dimensies, $\vec F = (F_1,\, ..., F_n)$ , luidt de definitie:

$\operatorname{div}\vec F = \nabla\cdot\vec F = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F_{i}}{\partial x_i}$

In cilindercoördinaten is de definitie van de divergentie van een vectorveld $\vec{F}$ :

$\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 \rho \frac \partial {\partial \rho} (\rho F_\rho) + \frac 1 \rho \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$

In sferische coördinaten (bolcoördinaten) wordt dat:

$\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 {r^2} \frac \partial {\partial r} (r^2 F_r) + \frac 1 {r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} ( F_\theta \sin \theta) + \frac 1{r \sin \theta } \frac {\partial F_\varphi}{\partial \varphi}$

[bewerk] Voorbeeld (vervolg)

In het bovenstaande voorbeeld is de stroomsnelheid omgekeerd evenredig met de afstand tot de bron Q. Nemen we Q als oorsprong, dan wordt het stromingsveld $v = (v x, v y)$ gegeven door:

$v_x(x,y)=c\frac{x}{x^2+y^2}\mbox{ en }v_y(x,y)=c\frac{y}{x^2+y^2}$ .

Behalve in Q is de divergentie in elk punt gelijk aan 0:

$\nabla \cdot v = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y}= c\frac{1}{x^2+y^2}-c\frac{2x^2}{(x^2+y^2)^2}+c\frac{1}{x^2+y^2}-c\frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2} = 0$ .