Dowód nierówności o ciągach jednomonotonicznych
Z Wikipedii
Poniżej umieszczony jest dowód nierówności o ciągach jednomonotonicznych.
Dowód ten oparty jest na zasadzie indukcji matematycznej.
[edytuj] Lewa strona
Twierdzenie jest niewątpliwie prawdziwe dla n=1, ponieważ jest tylko jedna permutacja ciągu jednoelementowego, wobec czego:
Udowodnijmy zatem że dla dowolnego naturalnego n i dwóch ciągów rzeczywistych 
, 
spełniających założenia prawdziwym jest, że jeśli zachodzi:
to zachodzi również:
(gdzie 
jest permutacją 
, a 
permutacją )
Dla b''n + 1 = bn + 1 jest to oczywiste, ponieważ można ją uzyskać poprzez obustronne dodanie wyrażenia an + 1bn + 1 w tezie indukcyjnej.
W przeciwnym wypadku istnieją takie naturalne i i j nie większe niż n, że dla pewnych permutacji:
- a1b'1 + ... + anb'n + an + 1bn + 1 = a1b''1 + ... + anb''n + an + 1b''n + 1 − (aibn + 1 + an + 1bj) + (aibj + an + 1bn + 1)
a zgodnie z założeniami
więc:
z czego
więc oczywiście
Co kończy dowód, ponieważ dla każdej permutacji '' możemy znaleźć odpowiednią permutację ', która będzie się od niej różniła co najwyżej jednym elementem.
