Nierówność o ciągach jednomonotonicznych
Z Wikipedii
Nierówność o ciągach jednomonotonicznych to jedna z podstawowych nierówności w matematyce. Można za jej pomocą dowieść wielu innych nierówności, takich jak nierówność Cauchy'ego o średnich.
[edytuj] Twierdzenie
Gdy mamy dane dwa ciągi: (a1,a2,a3,a4,...,an) oraz (b1,b2,b3,b4,...,bn) liczb rzeczywistych takie że dla każdej pary naturalnych i i j nie większych niż n, takich że i jest mniejsze niż j, zachodzą nierówności:
lub
czyli innymi słowy oba ciągi są tej samej monotoniczności, to ciągi takie nazywamy jednomonotonicznymi i prawdziwe są nierówności:
gdzie (b'1,b'2,b'3,b'4,...,b'n) jest dowolną permutacją ciągu (b1,b2,b3,b4,...,bn).
Dowód twierdzenia korzysta z zasady indukcji matematycznej. Twierdzenie to jest prawdziwe również dla więcej niż dwóch ciągów, tak długo, jak są one tej samej monotoniczności.
[edytuj] Przykłady zastosowań
Nierówność tę można wykorzystać do udowodnienia wielu innych nierówności. Jednym z najczęściej spotykanych przykładów jest nierówność Cauchy'ego o średnich, inne to m.in. Nierówność Cauchy'ego-Schwarza, nierówność Czebyszewa.
