Dowód niewymierności pierwiastka z dwóch

Z Wikipedii

Twierdzenie o niewymierności pierwiastka z $2$ – geometryczny dowód twierdzenia znany był już w starożytności i był znany m. in. Pitagorejczykom, którzy jednakże nie rozprzestrzeniali wieści o tym, iż istnieją wielkości, które nie były dobrze znanymi liczbami naturalnymi, czy choćby wymiernymi.

[edytuj] Twierdzenie

Liczba $\sqrt 2$ jest niewymierna.

[edytuj] Lemat

Kwadrat parzystej liczby naturalnej jest liczbą parzystą, zaś nieparzystej – nieparzystą.

Innymi słowy: kwadrat liczby naturalnej $n 2$ jest liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą parzystą.

[edytuj] Dowód lematu

Jeśli liczba naturalna n jest parzysta, czyli istnieje liczba naturalna $k$ taka, że $n = 2 k$ , to:

$n^2 = (2k)^2 = 4 \cdot k^2 = 2(2 \cdot k^2)$

Czynnik $2 \cdot k^2$ jako iloczyn liczb naturalnych jest liczbą naturalną. Zatem $n 2$ , jako podwojona liczba naturalna, jest liczbą parzystą. Co dowodzi pierwszej części lematu.

Jeśli liczba naturalna $n$ jest nieparzysta, czyli istnieje liczba naturalna $k$ taka, że $n = 2 k + 1$ , to:

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4 \cdot k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k(k + 1)\right) + 1$

Czynnik $2 k (k + 1)$ jako iloczyn liczb naturalnych jest liczbą naturalną. Zatem $n 2$ , jako suma liczby parzystej i jedności, jest liczbą nieparzystą. Co dowodzi drugiej części lematu.

Tym samym lemat został dowiedziony.

[edytuj] Dowód arytmetyczny

Dowód ten najłatwiej przeprowadzić nie wprost, to znaczy przez wykazanie nieprawdziwości zaprzeczenia twierdzenia. Przypuśćmy zatem, że $\sqrt 2$ jest liczbą wymierną.

Oznacza to, że istnieją takie dwie liczby naturalne $L$ i $M$ , że

$\sqrt 2=\frac L M$

Każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, zatem możemy założyć, że liczby $L$ i $M$ są względnie pierwsze, tj. nie posiadają wspólnych dzielników oprócz 1.

Stąd:

$2 = {L^2 \over M^2}$ .

2 M 2 = L 2

Czyli liczba $L 2$ jest parzysta. A to, na mocy lematu, oznacza, że $L$ jest parzysta. Istnieje zatem liczba naturalna $K$ taka, że $L = 2 K$ .

Podstawmy więc $L = 2 K$ do ostatniej równości:

2 M 2 = (2 K) 2 = 4 K 2

2 K 2 = M 2

Zatem liczba $M 2$ jest parzysta. A to, ponownie na mocy lematu, oznacza, że liczba $M$ jest parzysta.

Otrzymaliśmy sprzeczność – założyliśmy, że $L$ i $M$ są względnie pierwsze, a otrzymaliśmy, iż posiadają one wspólny dzielnik 2. Sprzeczność ta kończy dowód – liczba $\sqrt 2$ jest niewymierna.

[edytuj] Dowód geometryczny

Załóżmy, że $\sqrt 2$ jest liczbą wymierną. Wtedy istnieją $m,\ n$ będące najmniejszymi liczbami całkowitymi dodatnimi spełniającymi $\sqrt 2 = \frac m n$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że stosunek długości przeciwprostokątnej do przyprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym wynosi $\sqrt 2$ . Weźmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $AB,\ BC$ długości $n$ i przeciwprostokątnej $A C$ długości $m$ .

Niech $AE=m,\ AD=n$ , punkty $A,\ B,\ E$ leżą w tej kolejności na jednej prostej, oraz punkty $A,\ D,\ C$ leżą w tej kolejności na jednej prostej.

Niech $F$ będzie punktem przecięcia odcinków $D E$ i $B C$ .

Otrzymaliśmy w ten sposób $Δ E B F$ oraz $Δ F D C,$ które są prostokątne i równoramienne, a ich przyprostokątne mają długość $n' = m - n,$ zaś przeciwprostokątne $m' = 2 n - m .$

Ponieważ $n < m < 2 n,$ to $m - n < n$ oraz $2 n - m < m .$

Mamy zatem liczby całkowite $0<m'<m,\ 0<n'<n$ spełniające $\sqrt 2 = {m' \over n'},$ co jest sprzeczne z początkowym założeniem, że $m,\ n$ są najmniejszymi liczbami całkowitymi dodatnimi spełniającymi tę równość.