Graf dwudzielny

Z Wikipedii

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia
graf
podgraf
cykl
klika
stopień wierzchołka
dopełnienie grafu
obwód grafu
pokrycie wierzchołkowe
liczba chromatyczna
indeks chromatyczny
izomorfizm grafów
homeomorfizm grafów

więcej...

Wybrane klasy grafów
graf pełny
graf spójny
drzewo
graf dwudzielny
graf regularny
graf eulerowski
graf hamiltonowski
graf planarny

więcej...

Algorytmy grafowe
A*
Bellmana-Forda
Breadth-first search
Depth-first search
Dijkstry
Fleury'ego
Floyda-Warshalla
Johnsona
Kruskala
Prima
przeszukiwanie grafu
najbliższego sąsiada

Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe
problem komiwojażera
problem chińskiego listonosza
problem kojarzenia małżeństw

Inne zagadnienia
kod Graya
diagram Hassego

edytuj ten szablon

Przykładowy graf dwudzielny

Pełny graf dwudzielny K_3,4

Graf dwudzielny – graf, którego zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne zbiory tak, że krawędzie nie łączą wierzchołków tego samego zbioru. Jeśli pomiędzy wszystkimi parami wierzchołków należących do różnych zbiorów istnieje krawędź, graf taki nazywamy pełnym grafem dwudzielnym lub kliką dwudzielną i oznaczamy K_n,m gdzie n i m oznaczają liczności zbiorów wierzchołków.

Pojęcie można uogólnić na trzy (graf trójdzielny) i więcej zbiorów.

Spis treści

1 Definicja formalna
2 Warunki wystarczające dla grafu hamiltonowskiego
- 2.1 Treść twierdzenia
- 2.2 Dowód
3 Zobacz też

[edytuj] Definicja formalna

Grafem dwudzielnym nazywamy trójkę G(U, V, E) gdzie:

U={u₁, u₂, ..., u_n},

V={v₁, v₂, ..., v_m}

$E \subseteq U \times V$ .

U i V są zbiorami wierzchołków, E to zbiór krawędzi.

[edytuj] Warunki wystarczające dla grafu hamiltonowskiego

Sformułowane zostało twierdzenie, które pozwala określić, czy graf dwudzielny jest grafem hamiltonowskim.

[edytuj] Treść twierdzenia

Niech G będzie grafem dwudzielnym i niech:

$V(G)=V_1\cup V_2$

będzie podziałem wierzchołków G.

Jeśli G ma cykl Hamiltona, to:

$|V_1|\ =\ |V_2|$

Jeśli G ma ścieżkę Hamiltona, to wartości $| V 1 |$ i $| V 2 |$ różnią się co najwyżej o 1.

Dla pełnych grafów dwudzielnych zachodzi też implikacja w lewo, tj. jeśli:

$|V_1|\ =\ |V_2|,$

to G ma cykl Hamiltona.

Jeśli $| V 1 |$ i $| V 2 |$ różnią się co najwyżej o 1 to G ma ścieżkę Hamiltona.

[edytuj] Dowód

Niech n oznacza ilość wierzchołków grafu G.

Cykl Hamiltona możemy wyznaczyć biorąc na przemian wierzchołki leżące w zbiorach $V 1$ i $V 2$ . Jeśli:

$v_1,v_2,\cdots ,v_n,v_1$

wyznacza drogę zamkniętą przechodzącą dokładnie raz przez każdy wierzchołek, to

$v_1,v_3,v_5\cdots$

muszą należeć do jednego ze zbiorów podziału, BSO załóżmy, że należą one do $V 1$ . Ponieważ istnieje krawędź $\! \{v_n,v_1\}$ , liczba n musi być parzysta, a więc wszystkie wierzchołki $v_2,v_4,\cdots ,v_n$ należą do $V 2$ , z czego wynika, że:

$|V_1|\ =\ |V_2|$ .

W przypadku ścieżki Hamiltona można zastosować podobne wyszukiwanie, zakończyć je na wierzchołku $v n$ . W przypadku, gdy n nie jest parzyste, jeden ze zbiorów ma jeden dodatkowy wierzchołek.

Załóżmy G jest pełnym grafem dwudzielnym, tj.:

$G=K_{|V_1|,|v_2|}.$ .

Jeżeli:

$|V_1|\ =\ |V_2|$

to dla każdego "przemiennego" indeksowania wierzchołków $v_1,v_2,\cdots ,v_n,v_1$ wyznacza cykl Hamiltona w G. Gdy jeden z podziałów, np. $V 1$ jest mniejszy wystarczy wyjść z niego przez $\! \{v_{|V_1|},v_{|V_2|}\}$ .