Iloczyn Kroneckera
Z Wikipedii
Iloczynem Kroneckera (nazwa pochodzi od Kroneckera) macierzy i macierzy
nazywamy macierz blokową wymiaru mk × nl postaci
![A \otimes B
= \begin{bmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \cdots \\
a_{21}B & a_{22}B \\
\vdots & & \ddots
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & \cdots & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12} & \cdots \\
a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} & & a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22} \\
\vdots & & \ddots \\
a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12} \\
a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} \\
\vdots
\end{bmatrix}](../../../../math/a/2/6/a26dd6a657de74540a9661fb8beafd30.png)
Macierze A i B mogą być dowolnych rozmiarów.
Iloczyn Kroneckera nie jest przemienny, ale za to ma wiele ciekawych i nieoczekiwanych własności.
Spis treści |
[edytuj] Własności iloczynu
[edytuj] Własność mieszanego iloczynu
Jeśli założymy, że A, B, C, D są takie, że iloczyny AC i BD istnieją, to zachodzi
![(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD](../../../../math/9/a/8/9a8307e2d10ac0a1438467f3d9e3a39f.png)
[edytuj] Odwrotność
Jeśli A i B są odwracalne, to odwracalny jest oraz
![(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}](../../../../math/4/2/b/42b788f6afedc24e8d922e89d4f4b13f.png)
[edytuj] Rozdzielność względem dodawania
![A\otimes (B+C)= A\otimes B + A\otimes C](../../../../math/1/5/f/15f442367012df171ac2cb1b1bedd4a1.png)
![(B+C)\otimes A= B\otimes A + C\otimes A](../../../../math/6/f/6/6f62175314d091882b042469f63eb77f.png)
przy czym zakłada się, że B i C są tych samych wymiarów.
[edytuj] Transpozycja
![(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}](../../../../math/0/0/7/00706bac4bbcbeca2e3b97016ca35e04.png)
[edytuj] Własności macierzy kwadratowych
Jeśli macierze A i B są kwadratowe wymiarów m i n odpowiednio, to
![\det(A\otimes B) = (\det A)^{m}\cdot (\det B)^{n}](../../../../math/f/f/e/ffee12649f70210d7e23f0f29826aed5.png)
![tr(A\otimes B)=tr(A)\cdot tr(B)](../../../../math/6/8/a/68a1fad86256c1983b3a6b32d0c3d613.png)
![rz(A\otimes B)=rz(A)\cdot rz(B)](../../../../math/b/d/6/bd634e260822dc38425563cddcd7bd39.png)
gdzie det wyznacznik macierzy,rz to rząd macierzy, a tr ślad macierzy.
[edytuj] Wartości własne
Niech oraz
są wszystkimi wartościami własnymi macierzy A i B, odpowiednio. Wtedy wszystkimi wartościami własnymi macierzy
są
![\{\lambda_{i}\mu_{j}|\quad i = 1,\ldots, m, \quad j = 1,\ldots,n\}](../../../../math/5/5/1/55110baa3f0841ec2fca1ebe51cba569.png)
[edytuj] Wzór
Niech oraz
. Wtedy współczynniki macierzy będącej iloczynem Kroneckera dane są wzorem
![(A\otimes B)_{ij} = a_{((i - 1) \ div \ k) + 1,((j - 1) \ div\ l) + 1}\cdot b_{((i - 1) \ mod\ k) + 1,((j - 1) \ mod\ l) + 1}](../../../../math/9/a/8/9a8e64d554ca4869c7a4767b3422e5cd.png)
gdzie div oznacza dzielenie całkowitoliczbowe.