Macierz
Z Wikipedii
Macierz – prostokątna tablica danych nazwanych elementami lub współczynnikami, pogrupowanych w wiersze i kolumny. Dwie macierze są równe, jeżeli mają tyle samo wierszy i kolumn, a odpowiadające sobie współczynniki są równe. Macierz o n wierszach i m kolumnach nazywa się czasami -macierzą lub macierzą typu
.
Słowo "macierz" najczęściej (jak i w powyższej definicji) oznacza macierz dwuwskaźnikową, rozważa się również macierze wielowskaźnikowe.
Zwykle rozważa się macierze o elementach z ustalonego zbioru. Jeżeli na zbiorze tym określona jest pewna struktura algebraiczna, pozwala to wprowadzić działania algebraiczne na macierzach. Najczęściej przyjmuje się, że współczynniki macierzy są elementami pewnego ciała; rzadziej rozważa się macierze nad pierścieniem przemiennym.
Formalnie biorąc, macierz A elementów zbioru X o n wierszach i m kolumnach jest funkcją
.
[edytuj] Historia
Pierwszymi macierzami były prawdopodobnie kwadraty magiczne 3×3, które w literaturze chińskiej pojawiają się już ok. 650 p.n.e.[1].
Ważny chiński tekst matematyczny, powstały między III wiekiem p.n.e. a II wiekiem n.e. Dziewięć Rozdziałów o Sztuce Matematyki (Jiu Zhang Suan Shu) jest pierwszym przypadkiem użycia macierzy do rozwiązania układu równań liniowych[2] W rozdziale siódmym, Zbyt dużo i nie wystarczająco po raz pierwszy wprowadzono koncepcję wyznacznika, prawie 2000 lat przed jego publikacją przez japońskiego matematyka Seki Kowa w 1683 i niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza w 1693.
Kwadraty magiczne były znane także arabskim matematykom, prawdopodobnie już w VII wieku, kiedy Arabowie podbili północnozachodnie części subkontynentu indyjskiego i przejęli zdobycze matematyki i astronomii hinduskiej. Być może idea ta dotarła do nich przez Chiny. Pierwsze kwadraty magiczne rzędu 5 i 6 pojawiły się w Encyklopedii Bractwa Czystości (arab. رسائل أخوان الصفا و خلان الوفا) z Bagdadu około 983 roku. Prostsze kwadraty magiczne były znane wielu wcześniejszym matematykom arabskim[1].
Po opracowaniu teorii wyznaczników (dzisiaj mówimy o wyznacznikach macierzy) przez Seki Kowa i Leibniza pod koniec XVII wieku, Cramer rozwinął ją dalej w XVIII wieku, znajdując, w roku 1750, wzory na rozwiązania układów równań liniowych, nazwane później wzorami Cramera. Carl Friedrich Gauss i Wilhelm Jordan opracowali, na początku XIX wieku, metodę rozwiązywania układów równań liniowych, zwaną dziś metodą eliminacji Gaussa-Jordana
W XIX wieku znano wyznaczniki i oczywiście kwadraty magiczne, dopiero jednak James Joseph Sylvester i Arthur Cayley wprowadzili macierze dwuwskaźnikowe jako sposób przejrzystego zapisu dużej liczby powiązanych strukturalnie danych – współrzędnych wektorów w ustalonej bazie przestrzeni liniowej czy współczynników układu równań.
Termin "macierz" pojawił się po raz pierwszy w 1848, użyty przez Jamesa J. Sylvestera. Arthur Cayley, William Rowan Hamilton, Hermann Grassmann, Ferdinand Georg Frobenius i John von Neumann przyczynili się do rozwoju teorii macierzy.
[edytuj] Oznaczenia
Elementy macierzy identyfikuje się przez podanie uporządkowanej pary liczb nazywanej wskaźnikami lub indeksami, kolejno: numer wiersza i numer kolumny[3], na przecięciu których znajduje się dany element.
Macierz oznacza się zwykle wielką literą, a jej elementy małą literą ze wskaźnikami w indeksie dolnym[4], np. macierz A = (aij) ma element a11 (czyt. a-jeden-jeden) w lewym górnym rogu, a element ar,s w r-tym wierszu i s-tej kolumnie.
W informatyce odpowiednikiem macierzy jest tablica dwuwymiarowa. Element tablicy A w wierszu i i kolumnie j oznaczany jest w zależności od języka programowania np. A(i, j); A[i, j]; A[i][j]; A{i, j}
.
Spotyka się różne sposoby oznaczania macierzy – przeważnie stosowane są nawiasy okrągłe[5] lub kwadratowe, gdzieniegdzie spotyka się jeszcze [6] zapis w podwójnych pionowych kreskach (co czasem przypomina wartość bezwzględną wyznacznika), np.:
[edytuj] Podstawowe pojęcia
Sposób strukturyzacji danych w postaci macierzy pozwala na łatwą organizację i zmianę danych poprzez przestawianie, łączenie, wydzielanie itp. Niech A = (aij) będzie macierzą o n wierszach i m kolumnach:
- Macierzą transponowaną (przestawioną) do A, oznaczaną AT, nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach, której wiersze są kolumnami danej macierzy A, a kolumny są wierszami macierzy A. Geometrycznie odpowiada to obrotowi macierzy wokół osi przechodzącej przez lewy górny i prawy dolny róg. Formalnie wzór na macierz przestawioną B do macierzy A przedstawia się następująco:
dla każdych i,j.
- Macierz A nazywamy kwadratową, gdy ma tyle samo wierszy, co kolumn, czyli m = n. Zamiast „macierz kwadratowa o n wierszach i n kolumnach” mówi się „macierz kwadratowa stopnia n”. Macierz, która nie jest kwadratową, nazywa się prostokątną. Główną przekątną macierzy kwadratowej A nazywamy wektor
.
- Podmacierz macierzy A to dowolna macierz powstająca z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn.
- Macierz klatkowa to macierz z wprowadzonym dodatkowym podziałem wierszy i kolumn na grupy kolejnych wierszy i kolumn. Obrazowo macierz klatkowa to macierz, w której poprowadzono poziome i pionowe linie wzdłuż jej wierszy lub kolumn dzielące ją tym samym na podmacierze nazywane wówczas klatkami. Dzięki temu podziałowi możliwe jest również rozważanie macierzy, której elementami są podmacierze (klatki).
- Odwrotnie, mając dany zestaw „pasujących” macierzy można zestawiać z nich macierze klatkowe. Jeśli dane są na przykład macierze:
- A o n wierszach i m kolumnach, B o n wierszach i k kolumnach,
- C o l wierszach i m kolumnach i D o l wierszach i k kolumnach,
- to można z nich zestawić macierz klatkową
.
- Wzór na elementy takiej macierzy jest mniej komunikatywny niż obrazek.
[edytuj] Zastosowania
[edytuj] Matematyka
- Relację
między elementami zbiorów
oraz
wygodnie jest określać za pomocą macierzy incydencji A = (ai,j), gdzie aij jest wartością logiczną zdania
.
- Jeżeli wyżej określony zbiór P jest zbiorem wierzchołków grafu niezorientowanego, to kwadratowa macierz incydencji A, gdzie aij jest liczbą krawędzi łączących wierzchołki pi i pj jest symetryczna, czyli A = AT.
- Jeżeli P opisuje graf zorientowany, to aij jest liczbą krawędzi z wierzchołka pi do wierzchołka pj[7].
- W algebrze liniowej macierze służą do reprezentacji przekształceń liniowych i funkcjonałów dwuliniowych oraz rozwiązywania układów równań liniowych.
- Macierz Jacobiego (jakobian) stosowana jest przy całkowaniu przez podstawienie.
- Macierze Wrońskiego i ich wyznaczniki (wrońskiany) są używane przy rozwiązywaniu niektórych typów równań różniczkowych oraz sprawdzaniu liniowej niezależności funkcji.
- W geometrii stosowane są macierze przekształcenia, opisujące przekształcenia afiniczne.
[edytuj] Fizyka i elektronika
- We współczesnej elektronice praktycznie każdy nowy układ elektroniczny jest najpierw przeliczany na komputerze (programy w rodzaju PSpice). Stosowana wówczas teoria obwodów wymaga rozwiązywania dużych układów równań, w czym pomagają macierze[8].
- W elektronice stosowane są również macierze niewynikające z twierdzeń czysto matematycznych, np. macierze immitancji i transmitancji.
- Szczególnym przypadkiem macierzy są wektory, które stały się jednym z podstawowych pojęć fizyki.
- Macierze są często używane w mechanice kwantowej, której sformułowanie w języku macierzy zwane jest mechaniką macierzową.
- Także ogólna teoria względności wyrażona jest w języku tensorów (np. tensor napięć-energii) do zapisu których stosowane są m.in. macierze.
- Zaawansowane obliczenia z dziedziny fizyki i nauk pokrewnych (mechanika płynów, meteorologia, odkształcenia materiałów, elektromagnetyzm) często sprowadzają się do metody elementów skończonych, która posługuje się macierzami.
- Zjawisko piezoelektryczne wygodnie opisać za pomocą macierzy[9].
[edytuj] Statystyka
- Kwadraty łacińskie, kwadraty greckie i kwadraty grecko-łacińskie są przydatne przy planowaniu eksperymentów w każdej dziedzinie nauki – dzięki nim za pomocą minimalnej liczby eksperymentów możemy uzyskać dobrą statystycznie informację o wpływie każdego z kilku różnych czynników na obserwowaną zmienną.
- Macierz danych jest standardowym zapisem wyników eksperymentu w statystyce. Statystyka stosuje też wiele innych macierzy, m.in. macierz stochastyczną, macierz korelacji, macierz wariancji-kowariancji, kontyngencji.
- Macierze w statystyce są też oczywiście wykorzystywane w metodach bazujących na przestrzeniach liniowych, jak m.in. wielowymiarowa regresja liniowa, analiza czynnikowa, analiza składowych głównych, analiza odpowiedniości.
[edytuj] Optymalizacja
- Macierze używane są w zagadnieniach optymalizacyjnych, szczególnie w programowaniu liniowym.
- Optymalizacja sprowadza się często do szukania ekstremów funkcji wielu zmiennych. Pomagają w tym macierze Hessego (hesjany).
[edytuj] Informatyka i telekomunikacja
- W językach programowania jednym z podstawowych typów danych jest tablica dwuwymiarowa, będąca informatycznym odpowiednikiem macierzy.
- W teorii kodowania w telekomunikacji stosowane są macierze[10].
- Macierze są wykorzystywane we współczesnej kryptografii (zobacz np. AES).
- W cyfrowym przetwarzaniu obrazów filtry stosowane do obrazów są często wyrażone za pomocą średniej ważonej z sąsiednich pikseli obrazu. Wagi tworzą wówczas macierz. Filtry takie mogą służyć m.in. do wygładzania albo wykrywania krawędzi (np. algorytm prewitt).
- W programowaniu grafiki i fizyki 3D (np. w programowaniu gier) macierze 4x4 są wykorzystywane do reprezentacji większości potrzebnych przekształceń geometrycznych - m.in. translacji, rotacji, skalowania i rzutowania perspektywicznego.
- Tzw. macierze widoku stosowane są w grafice trójwymiarowej do łatwego formalizowania położenia i kierunku patrzenia kamery.
- Tzw. macierz fundamentalna 3×3 rzędu 2 jest w grafice 3D używana do generowania obrazów stereoskopowych.
- W teorii sygnałów oraz przy kompresji obrazu stosowane są tzw. falki. Można je wyliczać z wykorzystaniem macierzy[11].
[edytuj] Pozostałe dziedziny
- Macierz Z jest stosowanym w chemii sposobem zapisu budowy cząsteczki[12].
- W stechiometrii stosowane są macierze stechiometryczne[13]
- Olga Taussky-Todd używała teorii macierzy do badania zjawisk aerodynamicznych, zwanych flatterem i aeroelastycznością, podczas II wojny światowej.
- Macierzowe równania stanu są jednym z podstawowych pojęć automatyki – pozwalają one na matematyczną reprezentację układu dynamicznego, w tym układu automatyki.
- W robotyce stosowane są elementarne macierze transformacji pozwalające opisywać matematycznie ruchy ramion robota. Macierze (Grama, Kalmana oraz tzw. nawiasy Liego) są też stosowane do sprawdzania czy robot mobilny jest układem sterowalnym. W modelu manipulatora robotycznego używana jest też macierz pseudoinercji, macierz bezwładności, macierz Coriolisa i macierz grawitacji.
- W spektrofotometrii używana jest macierz widm (wartości absorbancji; porównaj LBOZ).
- W bioinformatyce macierze stosowane są w algorytmie uliniowiania do porównywania sekwencji pierwszorzędowej DNA, RNA bądź białek w celu identyfikacji regionów podobnych.
- W teorii gier do opisu prostych gier zwykle stosuje się tzw macierz wypłat. Wraz z teorią gier mają one zastosowanie także np. w etologii czy taktyce wojskowej.
[edytuj] Kultura popularna
- Kwadraty magiczne, które formalnie były najstarszymi znanymi macierzami, choć oczywiście były (i są) wykorzystywane jako talizmany, a nie obiekty matematyczne.
- Formę macierzy mają także diagramy sudoku.
- Autor Alicji w Krainie Czarów, matematyk Charles Dodgson (Lewis Carroll) jako pierwszy stosował macierze w teorii głosowań[14].
[edytuj] Działania algebraiczne
Jeżeli zbiór, z którego pochodzą elementy macierzy R jest pierścieniem przemiennym z jedynką (w szczególności – ciałem, takim jak liczby rzeczywiste), to mówimy wtedy o macierzy nad R. Można wtedy w zbiorze wszystkich macierzy o n wierszach, m kolumnach i elementach z pierścienia R określić pewne działania. Dalej będziemy przyjmować, o ile nie powiedziano inaczej, że macierze są określone właśnie nad pierścieniem.
Macierze A = (aij) oraz B = (bij) nazywa się równymi, jeśli mają tę samą liczbę wierszy oraz kolumn oraz odpowiadające sobie elementy są równe, tzn. aij = bij dla wszystkich i,j.
Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie niezerowe elementy znajdują się wyłącznie na głównej przekątnej. Innymi słowy: macierz A = (aij) jest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy aij = 0 dla . Często dla oszczędności miejsca macierz diagonalną stopnia n zapisuje się jako
.
Macierz jednostkowa I jest szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej, która na przekątnej ma same jedynki. Macierz zerowa Θ to macierz złożona z samych zer. Niekiedy do symbolu tych macierzy w indeksie dolnym dodaje się ich stopień.
[edytuj] Dodawanie i mnożenie przez skalar
![](../../../../images/shared/thumb/3/35/Information_icon.svg/15px-Information_icon.svg.png)
Mnożenie macierzy przez stałą (skalar, element pierścienia) oraz dodawanie macierzy definiuje się następująco:
- (aij) + (bij) = (aij + bij).
Słownie: mnożenie macierzy przez skalar polega na wymnożeniu przez niego wszystkich jej elementów, a dodawanie macierzy na dodaniu odpowiadających sobie elementów. Analogicznie definiuje się różnicę macierzy.
Zbiór z dodawaniem jest grupą przemienną: łączność i przemienność działań w pierścieniu przenosi się na działania na macierzach, elementem neutralnym jest macierz zerowa Θ o wszystkich elementach równych
, elementem przeciwnym do macierzy A jest macierz
, którą nazywa się macierzą przeciwną do A. Oczywiście jest A − B = A + ( − B) o ile macierze te są zgodnego typu.
Mnożenie przez skalar spełnia warunki:
,
,
,
,
zatem zbiór z dodawaniem i mnożeniem przez skalary jest modułem nad pierścieniem R. Moduł ten jest wolny rangi mn
Jeśli pierścień R jest ciałem, to zbiór z powyższymi działaniami staje się przestrzenią liniową nad ciałem R o wymiarze nm.
Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnych są macierze postaci nazywane macierzami skalarnymi. W szczególności:
[edytuj] Przykład mnożenia przez skalar
[edytuj] Przykład dodawania macierzy
[edytuj] Mnożenie
![](../../../../images/shared/thumb/3/35/Information_icon.svg/15px-Information_icon.svg.png)
Działanie mnożenia macierzy można określić na wiele sposobów, jednak niżej określone, nazywane mnożeniem Cauchy'ego, ma wiele zastosowań w algebrze liniowej, w której macierze służą do zapisu przekształceń liniowych – odpowiada ono ich składaniu. Macierze można również mnożyć używając iloczynu Kroneckera.
Iloczyn macierzy
(nazywanej w tym kontekście lewym czynnikiem) i macierzy
(prawy czynnik) jest macierzą
taką, że
.
W zbiorze macierzy kwadratowych ich mnożenie jest działaniem wewnętrznym.
[edytuj] Przykłady mnożenia macierzy
[edytuj] Własności
Mnożenie ma ciąg częściowych elementów neutralnych – macierzy jednostkowych, czyli macierzy kwadratowych stopnia k oznaczanych symbolem Ik, których wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe jedności, a pozostałe zeru. Dla macierzy jest
.
Mnożenie macierzy nie jest przemienne, np.
,
ale z drugiej strony
.
Również w przypadku macierzy kwadratowych:
.
Mnożenie macierzy jest jednak łączne oraz rozdzielne lewo- i prawostronnie względem dodawania:
i
co oznacza, że zbiór macierzy kwadratowych stopnia n tworzy pierścień nieprzemienny.
Ponadto:
.
Powyższe równości należy rozumieć w następujący sposób: jeśli istnieje jedna ze stron, wówczas istnieje druga i są one sobie równe.
Jeśli są kolumnami macierzy A, to j-tą kolumną macierzy
jest
.
Jeśli są wierszami macierzy B, to i -tym wierszem macierzy
jest
.
[edytuj] Potęgowanie macierzy
![](../../../../images/shared/thumb/3/35/Information_icon.svg/15px-Information_icon.svg.png)
Potęgę macierzy kwadratowej o wykładniku wyrażającym się liczbą naturalną n określa się w zwyczajowo jako n-krotny iloczyn macierzy przez siebie. Z własności mnożenia macierzy wynika, że to działanie jest określone wyłącznie dla macierzy kwadratowych. Jeżeli macierz jest odwracalna, rozszerzenie definicji na liczby całkowite przebiega wg wzoru A − p = (A − 1)p. Dodatkowo przyjmuje się A0 = I.
[edytuj] Macierze diagonalne i skalarne
Mnożenie macierzy diagonalnych jest szczególnie proste:
.
W szczególności macierze diagonalne są przemienne z macierzami diagonalnymi (ale niekoniecznie z innymi macierzami):
Macierz kwadratowa stopnia n jest przemienna z wszystkimi macierzami kwadratowymi stopnia n wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą skalarną.
[edytuj] Pierścienie nieprzemienne
Mnożenie macierzy nad pierścieniem nieprzemiennym określa się jak wyżej, pojawia się jednak wiele subtelności, a działanie nie ma tak dobrych własności jak w poprzednim przypadku. Mimo to mnożenie takich macierzy nadal jest użyteczne, czego przykładem mogą być enumerator i denumerator marszrut w grafie.
Niech będzie zbiorem wierzchołków grafu zorientowanego, a dla danych i,j przez
oznaczymy zbiór krawędzi z pi do pj.
Jeśli w zbiorze skończonych ciągów krawędzi określić działanie konkatenacji (czyli dopisywania) jako mnożenie i rozszerzyć je na formalne sumy takich ciągów tak, by było ono rozdzielne względem dodawania (rolę zera pełni ciąg pusty), to dla macierzy A = (aij), gdzie macierz An ma w wierszu i i kolumnie j sumę wszystkich marszrut długości n prowadzących z pi do pj.
Jeśli w macierzy An każdy symbol qij(s) zastąpić jedynką, to po wykonaniu działania powstanie macierz mająca w wierszu i i kolumnie j liczbę marszrut długości n z pi do pj.
[edytuj] Moduł i norma macierzy
Niech macierze A = (aij),B = (bij) tego samego typu będą zbudowane nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Nierówność oznacza, że
dla wszystkich i, j. Wynika stąd, że nie wszystkie macierze można porównywać w ten sposób.
Wartością bezwzględną (modułem) macierzy A nazywa się macierz | A | = ( | aij | ), gdzie | aij | są wartościami bezwzględnymi (modułami) elementów. Jeśli dla wspomnianych macierzy operacje dodawania i mnożenia mają sens, to
, gdzie c jest skalarem.
, skąd wynika też
Norma macierzy A to liczba rzeczywista taka, dla której spełnione są aksjomaty normy i B jest macierzą dla której poniższe działania mają sens:
, gdzie c jest skalarem, w szczególności
, skąd wynika też
Bezpośrednim wnioskiem z powyższych własności jest
Jeśli spełnione są dodatkowe warunki
, przy czym dla A = (a11) jest
, w szczególności
to normę macierzy nazywamy kanoniczną.
[edytuj] Odwracalność i nieosobliwość
![](../../../../images/shared/thumb/3/35/Information_icon.svg/15px-Information_icon.svg.png)
Macierz A jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz B, dla której
- AB = BA = I,
gdzie I jest macierzą jednostkową.
Jeżeli taka macierz B nie istnieje, to macierz A nazywamy nieodwracalną, w przeciwnym wypadku macierz B nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A i oznacza się ją wówczas przez A − 1.
Powyższe definicje jednoznacznie wyznaczają element odwracalny oraz odwrotny w pierścieniu (nieprzemiennym z jedynką) macierzy kwadratowych ustalonego stopnia z działaniami dodawania i mnożenia macierzy określonymi wyżej.
Jeżeli pierścień R, nad którym zbudowana jest macierz kwadratowa, jest przemienny, to można zdefiniować jej wyznacznik[15]. Macierzą nieosobliwą (niezdegenerowaną) nazywamy każdą macierz o odwracalnym wyznaczniku (jeżeli R jest ciałem, to jest to równoważne temu, że jest on różny od zera). Macierzą osobliwą (zdegenerowaną) nazywa się macierz o wyznaczniku nieodwracalnym (w ciele: zerowym).
Z własności macierzy dołączonej wynika, że macierz kwadratowa A stopnia n nad pierścieniem przemiennym R jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona nieosobliwa. Tak więc nieosobliwość macierzy staje się kryterium odwracalności macierzy.
[edytuj] Przekształcenia i macierze elementarne
![](../../../../images/shared/thumb/3/35/Information_icon.svg/15px-Information_icon.svg.png)
Przekształceniami elementarnymi na wierszach są:
- zamiana miejscami dwóch różnych wierszy macierzy,
- pomnożenie jednego z wierszy macierzy przez liczbę różną od zera,
- dodanie do jednego wiersza macierzy innego wiersza tej samej macierzy.
Macierz elementarna to macierz powstała z macierzy jednostkowej w wyniku jednego przekształcenia elementarnego na jej wierszach. Są one istotne przede wszystkim z tego powodu, iż nie zmieniają rzędu macierzy. Ponieważ nie zmieniają one rozwiązywań układów równań liniowych, wykorzystywane są one do ich rozwiązywania w metodzie Gaussa. Za ich pomocą jest też definiowana elementarna równoważność.
[edytuj] Algebra liniowa
W tej sekcji rozważać będziemy macierze nad pewnym ustalonym K.
Poniższe zastosowania macierzy są ściśle ze sobą powiązane, choć niektóre z nich związane są z istnieniem (skończonych) baz w przestrzeniach liniowych skończonego wymiaru. Należy zauważyć, że każdemu wektorowi przyporządkować wzajemnie jednoznacznie ciąg jego współrzędnych względem bazy uporządkowanej (tzn. bazy z ustaloną kolejnością wektorów).
[edytuj] Macierz przekształcenia liniowego
![](../../../../images/shared/thumb/3/35/Information_icon.svg/15px-Information_icon.svg.png)
Jeśli jest przekształceniem liniowym przestrzeni liniowych skończonego wymiaru[16], to dla każdej bazy uporządkowanej
dziedziny V i każdej bazy uporządkowanej
przeciwdziedziny W przekształceniu
odpowiada (istnieje między nimi izomorfizm) macierz A = (aij) o m wierszach i n kolumnach taka, że aij jest współrzędną wektora
przy wektorze wi, tzn.
.
Innymi słowy kolejne kolumny macierzy A są współrzędnymi obrazów za pomocą przekształcenia w bazie
wektorów względem bazy
.
Współrzędne obrazu
wektora
wyrażają się przez współrzędne
tego wektora wzorem
,
własność ta charakteryzuje macierz przekształcenia liniowego. Z tego też powodu istnieje wzajemna jednoznaczność między wektorami przestrzeni o ustalonej bazie, a macierzami
, które zwyczajowo nazywa się wektorami kolumnowymi (zwykle po prostu wektorami), analogicznie macierze
nazywa się wektorami wierszowymi.
W szczególności mnożenie macierzy A o m wierszach i n kolumnach przez inną
opisuje przekształcenie liniowe przestrzeni
w przestrzeń
. Jego macierzą względem (naturalnie uporządkowanych) baz kanonicznych jest sama macierz A. Przekształceniu identycznościowemu odpowiada macierz jednostkowa.
Niech będzie innym przekształceniem liniowym, zaś
bazą uporządkowaną przestrzeni U, a B jest macierzą przekształcenia ψ względem baz uporządkowanych
. Macierzą złożenia
(przekształcenia złożonego, superpozycji) względem baz uporządkowanych
jest macierz BA. Czyli jak już wspomniano wcześniej mnożenie macierzy jest zgodne ze składaniem przekształceń liniowych.
[edytuj] Układy równań liniowych
![](../../../../images/shared/thumb/3/35/Information_icon.svg/15px-Information_icon.svg.png)
[edytuj] Zapis
Niech dany będzie układ n równań liniowych
m zmiennych o współczynnikach
. Wówczas
- macierzą układu równań nazywamy macierz współczynników
,
- kolumną wyrazów wolnych (prawych stron) nazywamy macierz
,
- macierzą uzupełnioną (rozszerzoną) nazywamy macierz klatkową
.
Jeśli dodatkowo kolumny macierzy A oraz kolumnę zmiennych oznaczyć
,
to układ równań można zapisać wektorowo:
.
Wówczas powyższy układ można zapisać także macierzowo:
.
Macierz uzupełniona jednoznacznie określa układ równań, więc przy jego rozwiązywaniu można operować na krótszych w zapisie macierzach uzupełnionych.
[edytuj] Interpretacja geometryczna
Układ równań liniowych wyrażający się macierzą A wygodnie czasem jest odczytywać jako problem dotyczący przekształcenia liniowego :
- istnienie rozwiązań jest równoważne temu, że wektor prawych stron
należy do obrazu przekształcenia
,
- jednoznaczność rozwiązań jest równoważna różnowartościowości przekształcenia
, czyli znikaniu jego jądra.
Rozpatrywanie macierzy układu równań liniowych jako macierzy przekształcenia liniowego umożliwia zatem geometryczne rozwiązywanie układów równań liniowych.
[edytuj] Macierz przejścia
Ten sam wektor ma z reguły różne współrzędne w różnych bazach uporządkowanych. Podobnie rzecz ma się z macierzami: jeśli jest macierzą przekształcenia liniowego
względem pewnych baz uporządkowanych, to dla macierzy
można wskazać bazy uporządkowane dziedziny i przeciwdziedziny takie, że B będzie macierzą tego samego przekształcenia liniowego w nowych bazach wtedy i tylko wtedy, gdy macierze A i B mają równe rzędy[17]. Do tworzenia nowych baz uporządkowanych i zapisu zmian współrzędnych służy macierz przejścia (macierz zmiany bazy).
Niech będzie bazą uporządkowaną przestrzeni liniowej V, w tym kontekście nazywaną starą bazą, a
układem wektorów (pionowych), to jest on wyznaczony jednoznacznie przez macierz P, której kolumną o numerze j jest kolumna współrzędnych
współrzędnych wektora wj w bazie :
- Uwaga
- W powyższym wzorze występują dwie macierze o jednym wierszu, których elementami są wektory oraz jedna macierz P nad ciałem.
Układ jest bazą uporządkowaną, nazywaną w tym kontekście nową, wtedy i tylko wtedy, gdy macierz P jest odwracalna. Wówczas nazywa się ją macierzą przejścia (macierzą zmiany bazy) od bazy
do bazy
.
Dla danej bazy uporządkowanej (starej) przestrzeni liniowej każda macierz odwracalna P wyznacza (nową) bazę uporządkowaną tej przestrzeni, z kolei każda nowa baza uporządkowana wyznacza „swoją” macierz przejścia względem istniejącej. Wspomniane dwa przyporządkowania:
- macierz odwracalna
nowa baza,
- nowa baza
macierz przejścia,
są do siebie wzajemnie odwrotne.
Macierz przejścia P jest macierzą identycznościowego przekształcenia liniowego względem baz uporządkowanych
i
.
Związek między starymi współrzędnymi
wektora v (współrzędnymi wektora v względem starej bazy ) a nowymi współrzędnymi
(współrzędnymi tego samego wektora v w nowej bazie ) łatwo zapisać za pomocą mnożenia macierzy:
.
[edytuj] Złożenie
Jeśli jest przekształceniem liniowym, a A jego macierzą względem baz uporządkowanych
i
, dodatkowo
jest nową bazą uporządkowaną dziedziny V osiągalną dzięki macierzy przejścia P, a
jest nową bazą uporządkowaną przeciwdziedziny W z macierzą przejścia Q, to macierzą przekształcenia
względem nowych baz jest B = Q − 1AP.
Rzeczywiście, mnożenie nowych współrzednych wektora v przez macierz B ma dawać w rezultacie nowe współrzędne wektora , a jeśli ciąg nowych współrzędnych wektora v oznaczyć
, to:
opisuje stare współrzędne wektora v,
daje stare współrzędne wektora
,
zawiera nowe współrzędne wektora
.
[edytuj] Macierz endomorfizmu
Endomorfizmem przestrzeni liniowej V nazywamy przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie, tzn. przestrzeń V jest tak dziedziną jak i przeciwdziedziną tego przekształcenia. W związku z tym wystarczy rozważać tylko jedną, wspólną dla nich bazę uporządkowaną. Niech będzie więc bazą uporządkowaną tej przestrzeni.
Macierzą endomorfizmu względem
jest zatem macierz przekształcenia liniowego
względem tej bazy. Macierze endomorfizmów są kwadratowe.
Jeśli wspomniany endomorfizm ma macierz A w bazie
, a P jest macierzą przejścia z tej bazy do nowej bazy uporządkowanej
, to macierzą endomorfizmu
względem bazy
jest macierz B = P − 1AP.
Endomorfizmom odpowiada dużo mniej macierzy w różnych bazach niż przekształceniom liniowym, których bazy można zmieniać niezależnie od siebie. Dwie macierze tego samego endomorfizmu mają równe wyznaczniki, ślady, ogólnie: równe sumy minorów głównych odpowiednich stopni. Innymi słowy mają równe wielomiany charakterystyczne.
Pochodząca od Frobeniusa metoda pozwala rozeznać, czy dwie macierze kwadratowe tego samego stopnia mogą być macierzami danego endomorfizmu; wykorzystuje ona pojęcia czynnika niezmienniczego i/lub dzielnika elementarnego (macierzy charakterystycznej), a do określenia tych pojęć konieczne są macierze nad pierścieniem wielomianów. Powszechnie znany jest prosty wniosek wynikający z tej metody, który obowiązuje wyłącznie nad ciałami algebraicznie domkniętymi, jest to tzw. twierdzenie Jordana (postać kanoniczna/normalna Jordana) i może być ono dowodzone niezależnie od ogólnej teorii.
[edytuj] Macierz Grama, macierz funkcjonału dwuliniowego
Rozważmy przestrzeń liniową V wymiaru n nad ciałem K i określony w niej funkcjonał dwuliniowy . Każdemu układowi (ciągowi) wektorów
można przyporządkować macierz kwadratową stopnia k
,
która w i-tym wierszu i j-tej kolumnie ma wartość B(vi,vj) funkcjonału na i-tym i j-tym wektorze. Tą macierz nazywamy macierzą Grama układu wektorów .
Jeśli powyższy układ wektorów jest bazą uporządkowaną, to macierz Grama tego układu nazywamy macierzą funkcjonału dwuliniowego B względem bazy uporządkowanej .
Z pomocą macierzy funkcjonału dwuliniowego jego wartości wyrażają się przez współrzędne wektorów wzorem:
,
własność ta charakteryzuje macierz funkcjonału dwuliniowego.
W szczególności funkcjonał dwuliniowy B jest:
- symetryczny, gdy jego macierz w pewnej/każdej bazie jest symetryczna,
,
- antysymetryczny, gdy jego macierz w pewnej/każdej bazie jest antysymetryczna,
.
[edytuj] Ortogonalność
W każdym z powyższych przypadków relacja ortogonalności (prostopadłości) wektorów jest symetryczna (ma sens); w przypadku funkcjonału symetrycznego baza uporządkowana
jest bazą ortogonalną (prostopadłą), gdy macierz G jest diagonalna. Baza uporządkowana jest ortonormalna (prostopadła i unormowana), gdy macierz G jest jednostkowa.
- Uwaga!
- Przestrzenie na których można określić antysymetryczny funkcjonał dwuliniowy, czyli przestrzenie symplektyczne na ogół nie mają baz prostopadłych!
[edytuj] Przekształcenia liniowe
Macierz funkcjonału dwuliniowego również jest macierzą pewnego przekształcenia liniowego. Mianowicie dla każdego ustalonego wektora każde z wyrażeń
jest funkcjonałem liniowym:
.
W ten sposób jeden funkcjonał dwuliniowy B wyznacza dwa przekształcenia liniowe przestrzeni V w jej przestrzeń sprzężoną V * :
,
.
Jeśli przyjąć za bazę przestrzeni sprzężonej V * bazę sprzężoną do bazy
przestrzeni V, to macierz
jest macierzą przekształcenia liniowego
względem tych baz, a macierzą przekształcenia liniowego
jest macierz transponowana GT.
Jeśli P jest macierzą przejścia do nowej bazy , to
.
[edytuj] Rząd macierzy i jej minory
![](../../../../images/shared/thumb/3/35/Information_icon.svg/15px-Information_icon.svg.png)
Dla danej macierzy A typu nad ciałem K można wybrać w dowolny sposób k wierszy i k kolumn, przy czym
. Wybrane w ten sposób elementy tworzą macierz kwadratową stopnia k. Wyznacznik tej macierzy nazywamy minorem stopnia k macierzy A. Minory zawierające elementy głównej przekątnej w porządku rosnącym nazywa się minorami głównymi.
Rzędem macierzy nazywa się najwyższy spośród stopni niezerowych minorów tej macierzy, czyli macierz A ma rząd r, jeśli istnieje przynajmniej jeden niezerowy minor stopnia r, a wszystkie minory wyższych stopni są równe zeru. Przyjmuje się, że rząd macierzy zerowej jest równy zeru. Z definicji rząd macierzy nie przekracza liczby jej wierszy, czy kolumn. Każdy niezerowy minor macierzy A stopnia równego jej rzędowi nazywamy minorem bazowym tej macierzy. Macierz kwadratowa stopnia n jest nieosobliwa, gdy jej rząd jest równy jej stopniowi.
Powyższa metoda wyznaczania rzędu okazuje się często kłopotliwa, szczególnie przy dużych macierzach. Można jednak skorzystać z własności przekształceń liniowych, wówczas dla macierzy A rozważa się dwie podprzestrzenie liniowe:
- podprzestrzeń przestrzeni
generowaną przez jej kolumny,
- podprzestrzeń przestrzeni
generowaną przez jej wiersze.
Wymiary tych podprzestrzeni są równe (opisują one tą samą przestrzeń zanurzoną w przestrzeniach generowanych przez kolumny lub wiersze). Ich wspólną wartość nazywa się rzędem macierzy A i oznacza bądź krótko
.
[edytuj] Własności
Działania algebraiczne na ogół znacznie zmieniają rząd. Dla nieosobliwej macierzy kwadratowej A, macierz − A również jest nieosobliwa, jednakże ich suma A + ( − A) ma rząd równy zeru.
Prawdziwe są jednak poniższe nierówności
,
oraz
.
Jeśli macierz B jest nieosobliwa, to zachodzą równości
.
[edytuj] Pierścień ideałów głównych
Nad pierścieniem ideałów głównych R podmoduł modułu wolnego jest modułem wolnym i jego ranga nie przekracza rangi całego modułu. Dla -macierzy A nad pierścieniem ideałów głównych R rozważa się dwa podmoduły:
- podmoduł modułu wolnego
generowany przez kolumny macierzy A,
- podmoduł modułu wolnego
generowany przez wiersze macierzy A.
Dowodzi się, że te dwa podmoduły mają równe rangi i wspólną wartość ich rangi nazywa się rzędem macierzy A. Rząd macierzy A jest równy największemu stopniowi jej niezerowego minora i jest równy rzędowi tej samej macierzy nad ciałem ułamków pierścienia R; rząd macierzy nie przekracza liczby jej wierszy i kolumn.
[edytuj] Podstawowe relacje między macierzami
- Powiemy, że macierze kwadratowe A i B są podobne, co oznaczamy
, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz odwracalna P spełniająca równość P − 1AP = B.
- Powiemy, że macierze symetryczne (lub antysymetryczne) A i B są kongruentne albo sprzężone, co oznaczamy
, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz odwracalna P taka, że PTAP = B.
- Powiemy, że macierze A i B są równoważne, co oznaczamy
, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją macierze odwracalne
takie, że P − 1AQ = B. Dwie macierze są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy ich rzędy są równe.
- Powiemy, że macierze A i B są równoważne względem przekształceń elementarnych na wierszach (kolumnach) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona liczba przekształceń elementarnych na wierszach (kolumnach) macierzy A, których zastosowanie do macierzy A da macierz B. Dla macierzy nad ciałem (nawet nad pierścieniem ideałów głównych) elementarna równoważność pokrywa się z równoważnością.
[edytuj] Funkcje macierzy
[edytuj] Funkcje wymierne
Niech X będzie macierzą kwadratową stopnia n. Definicję funkcji wymiernej można rozszerzyć na argumenty będące macierzami:
nazywa się wielomianem prawostronnym, a
to wielomian lewostronny.
przy czym są macierzami
, bądź odpowiednio
, macierz jednostkowa I jest stopnia n. Na ogół
.
Można również określić funkcje ułamkowe definiując je wzorami
- R1(X) = P(X)(Q(X)) − 1 oraz R2(X) = (Q(X)) − 1P(X) ,
gdzie P(X),Q(X) są wielomianami względem macierzy X, a macierz Q jest nieosobliwa.
[edytuj] Granica ciągu i szeregi
![](../../../../images/shared/thumb/3/35/Information_icon.svg/15px-Information_icon.svg.png)
Jeżeli dany jest ciąg macierzy tego samego typu
(i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n), to granicą ciągu macierzy Ak nazywa się macierz
.
Niech będzie dowolną normą kanoniczną macierzy. Ciąg Ak posiada granicę A, czyli jest zbieżny, wtedy i tylko wtedy, gdy
dla
. Wtedy
. Ciąg
przy
wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Granice macierzy mają te same własności, co granice liczbowe, o ile działania na macierzach są wykonalne (przy czym warunek niezerowości przy ilorazie oznacza odwracalność). Obowiązuje również odpowiednio sformułowany warunek Cauchy'ego.
Szeregi definiuje się analogicznie do szeregów liczbowych,
,
przy czym macierze Ak są tego samego typu. Jeśli powyższa granica istnieje, to nazywa się ją sumą szeregu, a sam szereg macierzowy nazywa się zbieżnym, wtedy też . W przeciwnym wypadku nosi on nazwę rozbieżnego i nie przypisuje mu się żadnej sumy. Wspomniany szereg nazywa się zbieżnym bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg
, taki szereg jest oczywiście zbieżny. Jeżeli szereg liczbowy
, gdzie
jest dowolną normą kanoniczną, jest zbieżny, to zbieżny, i to bezwzględnie, jest szereg
.
Rozważa się również macierzowe szeregi potęgowe:
- prawostronny:
- lewostronny:
Należy zaznaczyć, że X jest macierzą kwadratową stopnia n. Od macierzy Ak wymaga się, aby w pierwszym przypadku miały n kolumn lub były liczbami (dozwolone są także wektory wierszowe), a w drugim n wierszy lub były skalarami (możliwe jest również użycie wektorów kolumnowych).
Jeżeli r jest promieniem zbieżności szeregu liczbowego , gdzie
jest normą kanoniczną, to lewo- i prawostronne szeregi potęgowe są również zbieżne przy
. W szczególności szereg
, gdzie ak są skalarami jest zbieżny przy
, gdzie r jest promieniem zbieżności szeregu
.
[edytuj] Funkcje przestępne
Za pomocą szeregów macierzowych można określić funkcje przestępne macierzy.
Przykładowo przyjmuje się następującą definicję eksponenty:
.
Szereg ten jest zbieżny dla każdej macierzy kwadratowej X. Podobnie można zdefiniować inne funkcje przestępne, takie jak sin, czy cos.
[edytuj] Uogólnienia
Rozważa się różne modyfikacje i uogólnienia, np.
- macierze ze zmienionymi zasadami np. mnożenia (krakowian)
- macierze z nieskończoną liczbą wierszy i/lub kolumn,
- macierze wielowskaźnikowe: macierze jednowskaźnikowe to wektory, macierze dwuwskaźnikowe to macierze opisane powyżej, macierze trójwskaźnikowe to dane uszeregowane w kratkach prostopadłościanu, ogólnie macierz r-wskaźnikowa elementów zbioru X to funkcja
.
Przypisy
- ↑ 1,0 1,1 Swaney, Mark. History of Magic Squares
- ↑ Shen Kangshen et al. (ed.): Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary. Oxford University Press, 1999. cytowane przez Otto Bretscher: Linear Algebra with Applications. Wyd. 3. Prentice-Hall, 2005, s. 1.
- ↑ spotyka się też odwrotny porządek, szczególnie w zastosowaniach informatycznych (grafika komputerowa)
- ↑ czasami dwoma w indeksie górnym albo po jednym w każdym z indeksów
- ↑ za A. Cayley A Memoir on the Theory of Matrices (1855) w formacie .pdf
- ↑ za A. Cayley Mémoire sur les Hyperdéterminants, Crelle Journal 30 (1846) w formacie .pdf
- ↑ więcej o macierzach w teorii grafów: http://ltcconline.net/greenl/courses/203/MatricesApps/graphTheory.htm
- ↑ http://ltcconline.net/greenl/courses/203/MatricesApps/electricalCircuits.htm
- ↑ zob. en:Piezoelectricity#Mathematical description
- ↑ [1], [2]
- ↑ http://ltcconline.net/greenl/courses/203/MatricesApps/wavelets.htm
- ↑ en:Z-matrix (chemistry)
- ↑ en:Stoichiometry#Stoichiometry Matrix
- ↑ en:Voting system#The single-winner revival
- ↑ w ogólności nie można tego uczynić, jeśli pierścień nie jest przemienny; niekiedy jest to jednak możliwe, np. wyznacznik Dieudonne dla algebr centralnych prostych
- ↑ ogólniej: homomorfizmem modułów wolnych (nad pierścieniem przemiennym)
- ↑ ten fakt pozostaje prawdziwy dla macierzy nad pierścieniami ideałów głównych, choć definicja rzędu jest nieco bardziej zawiła
[edytuj] Bibliografia
- Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej cz. I. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2566-2.
- Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej cz. II. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2693-6.
- Israïl Moiseevich Gelfand: Wykłady z algebry liniowej. PWN, 1974.
- J. Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. PWN, 1978.
- Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Algebra liniowa. PWN, 1975.
- Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Algebra wyższa. PWN, 1974.
[edytuj] Zobacz też
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
- schemat Sarrusa,
- wyznacznik macierzy kwadratowej,
- permanent,
- rozkład macierzy,
- metoda LU,
- diagonalizacja,
- wartości własne,
- wektory własne,
- tensor,
- krakowian.
[edytuj] Linki zewnętrzne