Krzywa pogoni

Z Wikipedii

Krzywa pogoni jest krzywą matematyczną, określającą tor punktu ("ścigający"), który zmierza zawsze w kierunku drugiego punktu ("ścigany"), poruszającego się po pewnej wyznaczonej krzywej.

[edytuj] Prosta krzywa pogoni

Prosta krzywa pogoni określa najprostszy przypadek, w którym ścigany porusza się po prostej. Pierre Bouguer opisał ją po raz pierwszy w 1732 roku. Pierre Louis Maupertuis później rozważał także inne krzywe pogoni.

Definicja: Niech $A 0$ będzie punktem startowym "ściganego", a $P 0$ punktem startowym "ścigającego".; Niech punkt $A$ porusza się ruchem jednostajnym z prędkością $v = c o n s t$ w jakimś kierunku, a punkt $P$ z prędkością $w = c o n s t$ zawsze w kierunku punktu $A$ . Wówczas tor punktu $P$ to prosta krzywa pogoni.; Niech $k=\tfrac{v}{w}$

Krzywe pogoni dla różnych wartości parametru k

Równanie w kartezjańskim układzie współrzędnych: Niech $A 0 = (0,0), P 0 = (1,0),$ A porusza się wzdłuż osi Y:; $y(x) = {1 \over 2} \left( { {1-x^{(1-k)}} \over (1-k) } -{ {1-x^{(1+k)}} \over { (1+k)} } \right)$ dla $k\ne 1$; $y(x) = {1 \over 4} \cdot \left( {x^2} -\ln {x^2} -1 \right)$ dla $k=1\;$

[edytuj] Wyprowadzenie

W dowolnym momencie ścigany znajduje się na stycznej do toru ścigającego, więc

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{-x}{a-y}$

co prowadzi do równania różniczkowego:

$x + x'(a-y) = 0\;$ gdzie

x > 0

Z $a = v t$ wynika $\frac{x}{x'} + vt = y$ , po zróżniczkowaniu po $y$ :

$\dot y = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{v \cdot x'^2} {x \cdot x''}$

Stosujemy wzór na długość łuku:

$l = wt = k \int_0^y \sqrt{1+(x')^2} \mathrm{d}y$

d x 2 + d y 2 = w 2 d t 2

wynika

$\dot y = \frac{w}{\sqrt{1+x'^2}}$

Podobnie wykonywane jest różniczkowanie po $x$ :

$x'' -k \cdot \frac{x'^2}{x} \cdot \sqrt{1 +x'^2} = 0$

Rozwiązanie po podstawieniu

$u = y' = \frac{1}{x'}, x'' = \frac{-1}{u^3} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ ,

prowadzi do

$\frac{-\mathrm{d}u}{\sqrt{1+u^2}} = k \cdot \frac{\mathrm{d}x}{x}$

po scałkowaniu:

$\operatorname{arsinh} u = k\cdot\ln x + C$

a następnie po zastosowaniu formalnej definicji sinh z $C 1 = e C$ otrzymujemy:

$y' = \frac{\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \left[ (C_1 \cdot x)^k - (C_1 \cdot x)^{-k} \right]$

Ponownie całkujemy, ze stałą $C 2$ . Z warunku brzegowego

$\left. \tfrac{dy}{dx}\right| _{x=1}=0$

wynika

C 1 = 1

więc z

$\left. y\right| _{x=1}=0$

wynika:

$C_2=\frac{k}{1-k^2}$ względnie $C_2=-\frac{1}{4}$ dla

k = 1

czyli:

$y(x) = {1 \over 2} \left( \begin{matrix} \quad \\ { x^{(1+k)} \over (1+k) } \\ \quad \end{matrix} -\left \lbrace \begin{matrix} { x^{(1-k)} \over (1-k) } \\ {\ln {|x|}} \end{matrix} \right \rbrace \right) +\left \lbrace \begin{matrix} {k \over {1-k^2}} \\ -{1 \over 4} \end{matrix} \right \rbrace\ \begin{cases} {k \neq 1} \\ {k=1} \end{cases}$