Kwantowy oscylator harmoniczny

Z Wikipedii

Oscylator harmoniczny jest układem fizycznym, który ma duże zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki.

Jest to ciało o masie $m$ , na które działa siła proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym zwrotem $F = - k x$ . Ponieważ siła $F= - \frac{\partial U}{\partial x}$ to układ opisany jest przez potencjał

$U(x)=\frac{1}{2}k x^2=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2.$

Jego energia całkowita jest równa

$E=\frac{1}{2} m v^2 + U(x)=\frac{p^2}{2m} + U(x)$

gdzie pęd $p = m v$ . W mechanice kwantowej pęd $p$ przechodzi w operator $p=mv\Rightarrow p= - i\hbar\frac{d}{dx}$ spełniający regułę komutacyjną $[x,p]=i\hbar$ . Wygodnie jest zdefiniować zamiast x, p dwa operatory

$a=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x + i\frac{1}{\sqrt{m \omega \hbar}}p),$ $a^{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x - i\frac{1}{\sqrt{m \omega \hbar}}p)$

nazywane operatorami anihilacji i kreacji. Stąd operator położenia x to

$x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a + a^{+} )$

Zobacz więcej w osobnym artykule: Oscylator harmoniczny.

[edytuj] Bozonowy oscylator harmoniczny

Potencjał oscylatora harmonicznego i kilka pierwszych stanów własnych.

Hamiltonian czyli operator energii przyjmuje teraz postać

$H=\frac{1}{2}\hbar \omega (a^{+} a + a a^{+})$

Operatory $X i = {I, a, a +, n = a + a}$ rozpinają algebrę Heisenberga:

[a, a +] = 1

[a, a] = [a +, a +] = 0

[n, a] = - a

[n, a +] = a +

[I, X i] = 0

Komutator zdefiniowany jest jako $[A, B] = A B - B A$ a antykomutator ${A, B} = A B + B A$ . Hamiltonian można przekształcić do postaci

$H=\hbar \omega (n + \frac{1}{2})=\hbar \omega n + E_0$

gdzie $E_0=\frac{1}{2}\hbar \omega$ jest energią stanu podstawowego. Hamiltoniam posiada całą drabinkę stanów własnych $H|n\rang =E_n|n\rang$ z energiami własnymi

$E_n=\hbar \omega (n + \frac{1}{2})=\hbar \omega n + E_0$

i stanami własnymi

$|n\rang =\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{+})^{n}|0\rang.$

Stan podstawowy $|0\rang$ zdefiniowany jest jako $a|0\rang =0$ . W tradycyjnym zapisie stan $|n\rang$ opisuje funkcję falową $ψ n (x)$ . Równanie $a|0\rang=0$ (lub $a ψ 0 (x) = 0$ ) jest równaniem różniczkowym którego rozwiązaniem jest funkcja falowa stanu podstawowego:

$\psi_{0} = C_{0} \exp(-\frac{1}{2}{(\frac{x}{x_0})}^2)$

gdzie $x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}$ . Operatory kreacji $a +$ tworzą kolejne funkcje falowe stanów wzbudzonych (stąd ich nazwa - creare (łac.) to tworzyć). Można je wyrazić przez wielomiany Hermite'a:

$\psi_n (x)=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{+})^{n}\psi_0(x)=C_n H_n(\frac{x}{x_0})\psi_0(x)$

gdzie

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}.$

[edytuj] Fermionowy oscylator harmoniczny

Fermionowy oscylator harmoniczny opisujemy hamiltonianem

$H=\frac{1}{2}\hbar \omega(c^{+}c - c c^{+} )$

Operatory $X i = {I, c, c +, n = c + c}$ rozpinają algebrę gradowaną:

{c, c +} = 1

{c, c} = {c +, c +} = 0

[n, c] = - c

[n, c +] = c +

[I, X i] = 0

Hamiltonian ten można przekształcić do postaci

$H=\hbar \omega(n - \frac{1}{2})=\hbar \omega n + E_0$

gdzie $E_0= - \frac{1}{2}\hbar\omega$ jest energią stanu podstawowego. Reguła komutacyjna ${c +, c +} = 0$ oznacza zakaz Pauliego, istnieje tylko stan próżni $|0\rang$ , pierwszy stan wzbudzony $|1\rang=c^{+}|0\rang$ , drugi stan wzbudzony już nie istnieje: $|2\rang=(c^{+})^2|0\rang=0$ , bo z reguł antykomatacyjnych wynika, iż $(c +) 2 = 0$ . Fermionowy oscylator harmoniczny zbudowany jest tylko z dwóch stanów, stanu podstawowego $|0\rang$ i stanu wzbudzonego $|1\rang$ . Posiada tylko dwie wartości własne $E_0= - \frac{1}{2}\hbar\omega$ i $E_1= \frac{1}{2}\hbar\omega$ .