Liczby doskonałe

Z Wikipedii

Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych.

Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, ponieważ 6 = 3 + 2 + 1. Następną jest 28 (28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1), a kolejne to 496, 8128 i 33550336.

W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np. 1 + 2 + 4 + 8 +... Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.

Okazuje się, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej mówiąc, każda liczba doskonała parzysta ma postać (2^p-1)·2^p-1, gdzie 2^p-1 jest liczbą pierwszą. Nietrudno pokazać, że przy tym założeniu również p jest liczbą pierwszą – tak więc liczby doskonałe parzyste są bezpośrednio związane z liczbami pierwszymi Mersenne'a.

Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 2^32582656·(2^32582657-1) – liczy ona 19 616 714 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.

Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, nie ma też dowodu, że liczby takie nie istnieją. Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci , gdzie p jest liczbą pierwszą postaci 4l+1. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od 10³⁰⁰ (dane z roku 1990).

Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

[edytuj] Zobacz też

• Liczby zaprzyjaźnione
• Liczby Mersenne'a.

Literatura: Wacław Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna.

[edytuj] Linki zewnętrzne

• Liczby doskonałe – MathWorld
• Liczby doskonałe nieparzyste – MathWorld
• Mersenne Prime Search