Número perfeito
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Em Matemática, um número perfeito é um número inteiro para o qual a soma de todos os seus divisores positivos próprios (excluindo ele mesmo) é igual ao próprio número.
Por exemplo, o número 6 é um número perfeito, pois:
O próximo número perfeito é o 28, pois:
Os quatro primeiros números perfeitos (6, 28, 496 e 8.128) eram os únicos conhecidos pelos gregos antigos desde pelo menos Euclides[1]. No século XV acrescentou-se 33.550.336 à lista.
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[editar] Conjunto dos números perfeitos
O conjunto dos números perfeitos é (sequência A000396 em OEIS)
[editar] Números perfeitos pares
Euclides descobriu que os quatro primeiros números perfeitos são gerados pela fórmula: 2n−1(2n − 1):
- para n = 2: 21(22 − 1) = 6
- para n = 3: 22(23 − 1) = 28
- para n = 5: 24(25 − 1) = 496
- para n = 7: 26(27 − 1) = 8.128
Notando que 2n − 1 é um número primo em cada uma destas instâncias, Euclides provou que a fórmula 2n−1(2n − 1) dá um número perfeito par sempre que 2n − 1 é primo (Euclides, Prop. IX.36).
Os matemáticos da Antiguidade fizeram várias afirmações sobre os números perfeitos baseados nos quatro que conheciam, mas a maior parte delas vieram a provar-se serem falsas. Uma dessas afirmações era que como 2, 3, 5, e 7 são precisamente os quatro primeiros primos, o quinto número perfeito seria obtido com n = 11, que é o quinto primo. Todavia, 211 − 1 = 2.047 = 23 × 89 não é primo e daí n = 11 não gera um número perfeito. Duas outras falsas afirmações são:
- O quinto número perfeito teria cinco algarismos pois os primeiros quatro têm, respectivamente, 1, 2, 3, e 4 algarismos.
- Os números perfeitos alternam 6 e 8 no último algarismo.
O quinto número perfeito (33.550.336 = 212(213 − 1)) tem 8 algarismos, contrariando a primeira afirmação. Como termina em 6, a segunda afirmação parecia não ser falsa. Todavia, o sexto número perfeito (8 589 869 056) também termina em 6. É fácil provar que o último algarismo de um número perfeito é sempre 6 ou 8.
Para que 2n − 1 seja primo, é necessário mas não suficiente que n seja primo. Os primos da forma 2n − 1 são conhecidos como primos de Mersenne, em honra do monge e matemático Marin Mersenne, que estudou eles em 1.644 junto com a teoria dos números e as propriedades dos números perfeitos.
Um milénio depois de Euclides, Ibn al-Haytham (Alhazen) por volta do ano 1.000 percebeu que todo o número perfeito par é da forma 2n−1(2n − 1) onde 2n − 1 é um número primo, Mas não conseguiu provar o resultado.[2] Só no século XVIII Leonhard Euler provou que a fórmula 2n−1(2n − 1) daria todos os números perfeitos pares. Portanto, todo o primo de Mersenne gera um diferente número perfeito par, numa correspondência unívoca entre ambos os conjuntos. Este resultado é muitas vezes referido como o "teorema de Euclides-Euler". À data de Setembro de 2007 eram conhecidos 44 primos de Mersenne[3] o que significa que há 44 números perfeitos pares conhecidos, sendo o maior 232.582.656 × (232.582.657 − 1), um enorme número com 19.616.714 algarismos.
Os primeiros 39 números perfeitos pares são da forma 2n−1(2n − 1) para
- n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (sequência A000043 em OEIS)
Os outros cinco conhecidos são para n = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657. Não se sabe se há outros algures neste intervalo.
[editar] Números perfeitos ímpares
Não se conhecem actualmente números perfeitos ímpares e conjectura-se, com fortes indícios experimentais, que não existe nenhum. Em 2004 foi submetido ao Arxiv um artigo pelo matemático australiano Simon Davis contendo a demonstração desta conjectura, que não foi no entanto ainda publicado[4].
Referências
- ↑ "Perfect Numbers: An Elementary Introduction" (disp. na Web)
- ↑ Predefinição:MacTutor Biography
- ↑ Números primos de Mersenne
- ↑ http://arxiv.org/abs/hep-th/0401052
