Miara bezatomowa
Z Wikipedii
Miara bezatomowa - w teorii miary to taka miara, że dowolny zbiór miary dodatniej można podzielić na dwa podzbiory miary dodatniej.
Spis treści |
[edytuj] Własności
Dla każdego μ-mierzalnego zbioru A można skonstruować zstępującą rodzinę zbiorów 
taką, że
Konstrukcja taka nie jest na ogół możliwa względem miar nie będących bezatomowymi.
Dla miar bezatomowych prawdziwe jest także twierdzenie:
- Dla dowolnego zbioru mierzalnego A takiego, że μ(A) > 0 i dla każdej liczby rzeczywistej 0 < b < μ(A) istnieje taki podzbiór
, że μ(B) = b.
Skąd można wnioskować, że μ przyjmuje nieprzeliczanie wiele wartości.
[edytuj] Uogólnienie
Definicję miary bezatomowej można rozszerzyć na σ-addytywne funkcje zbiorów o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Będziemy je dalej nazywać miarami rzeczywistymi.
[edytuj] Definicja
Niech 
będzie σ-ciałem, miarę rzeczywistą μ określona na nazywamy bezatomową, jeśli dla każdego zbioru 
takiego, że | μ | (A) > 0, istnieje 
taki, że 0 < | μ | (E) < | μ | (A). Przez | μ | oznaczamy wahanie całkowite miary rzeczywistej μ.
[edytuj] Bibliografia
- Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.
