Miara borelowska

Z Wikipedii

Miara borelowska - przeliczalnie addytywna miara określona na borelowskich podzbiorach danej przestrzeni topologicznej.

[edytuj] Definicje

W literaturze istnieją pewne niekonsekwencje w definiowaniu miar borelowskich spowodowane głównie różnymi interpretacjami borelowskich podzbiorów danej przestrzeni topologicznej.

Paul Halmos w swoim klasycznym podręczniku teorii miary^[1] rozważa tylko lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa i wprowadza następujące definicje.

Borelowskie podzbiory przestrzeni X to elementy σ-pierścienia zbiorów ${\mathcal B}^*(X)$ generowanego przez zwarte podzbiory X.

Miara borelowska na przestrzeni X to funkcja $\mu:{\mathcal B}^*(X)\longrightarrow [0,\infty]$ taka, że

(i) $\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\mu(E_n)$ ilekroć $\{E_1,E_2,E_3,\ldots\}$ jest rodziną parami rozłącznych zbiorów z ${\mathcal B}^*(X)$ , oraz

(ii) $\mu(C)<\infty$ dla każdego zwartego zbioru $C\subseteq X$ .

Wielu innych autorów przyjmuje bardzo podobną definicję, zastępując jednak σ-pierścień zbiorów ${\mathcal B}^*(X)$ przez σ-algebrę zbiorów ${\mathcal B}^+(X)$ generowaną przez zwarte podzbiory przestrzeni X.

Jeszcze inni autorzy, np Heinz^[2], zastępują użycie ${\mathcal B}^*(X)$ przez σ-algebrę ${\mathcal B}(X)$ generowaną przez otwarte podzbiory X.

Należy jednak zauważyć, że jeśli przestrzeń X jest lokalnie zwartą przestrzenią Lindelöfa, to domknięte podzbiory X są przeliczalnymi sumami zbiorów zwartych, więc ${\mathcal B}(X)={\mathcal B}^*(X)={\mathcal B}^+(X)$ . Zatem jeśli X jest lokalnie zwarta i σ-zwarta (czyli może być przedstawiona jako suma przeliczalnie wielu zbiorów zwartych), to ${\mathcal B}(X)={\mathcal B}^*(X)={\mathcal B}^+(X)$ , więc w szczególności dla przestrzeni euklidesowych te trzy rodziny zbiorów są równe.

[edytuj] Bibliografia

↑ Halmos, Paul R.: Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics Vol. 18, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2001, s 219. ISBN 3-540-90088-8
↑ König, Heinz: Measure and integration. An advanced course in basic procedures and applications. Springer-Verlag, Berlin, 1997. ISBN 3-540-61858-9