Nieskończenie małe

Z Wikipedii

Nieskończenie małe – określenie wielkości, które w danym przejściu granicznym dążą do zera.

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Uwagi
2 Rząd nieskończenie małej
3 Nieskończenie małe równoważne
4 Przykłady
5 Zastosowania
6 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech x₀ oznacza liczbę rzeczywistą lub ±∞. Funkcję f(x) nazywamy nieskończenie małą przy x dążącym do x₀ jeżeli jej granica przy x dążącym do x₀ jest równa 0:

$\lim_{x\to x_0} f(x) = 0$

[edytuj] Uwagi

Pojęcie "nieskończenie małej" jest tylko wygodnym i intuicyjnym sposobem wyrażania faktu, że granica funkcji jest równa 0.
Jeżeli g(x) jest nieskończenie wielką, to 1/g(x) jest nieskończenie małą, lecz nie na odwrót.

[edytuj] Rząd nieskończenie małej

Nieskończenie mała f(x) przy x dążącym do x₀ ma rząd k jeżeli

$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(x - x_0)^k} = a \ne 0$ gdy

x 0

jest liczbą

$\lim_{x\to x_0} f(x)\cdot x^k = a \ne 0$ gdy $x_0=\pm\infty$

[edytuj] Nieskończenie małe równoważne

Dwie nieskończenie małe f(x) i g(x) są równoważne jeżeli:

$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 1$ .

Relacja "równoważności" nieskończenie małych jest rzeczywiście relacją równoważności – w szczególności, dwie nieskończenie małe równoważne trzeciej są też sobie równoważne.