Relacja równoważności

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy rodzaju relacji. Zobacz też: równoważność – spójnik logiczny.

Definicja intuicyjna:
relacja równoważności dzieli zbiór na rozłączne podzbiory

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Tworzenie struktur
4 Zobacz też

Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze, utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy.

[edytuj] Definicja

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem. Relację $R \subseteq X \times X$ nazywamy relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona

zwrotna, tzn. dla wszystkich $x\in X$ mamy, że

$x\ R\ x$

symetryczna, tzn. dla dowolnych $x, y\in X$ zachodzi implikacja

jeżeli $x\ R\ y$ , to $y\ R\ x$ ,

przechodnia, tzn. dla wszystkich $x, y, z\in X$ zachodzi implikacja

jeżeli $x\ R\ y$ oraz $y\ R\ z$ , to $x\ R\ z$ .

Dwa elementy $x, y \in X$ takie, że $x\ R\ y$ nazywa się równoważnymi lub tożsamymi. Relacje równoważności oznacza się zwykle symbolami $\sim$ , $\equiv$ lub podobnymi.

[edytuj] Klasy abstrakcji

Niech $X$ będzie zbiorem na którym określono relację równoważności $\sim$ . Klasą równoważności lub abstrakcji (także warstwą) elementu $x$ nazywa się zbiór

$[x]_\sim = \{y \in X\colon x \sim y\}$

czyli zbiór wszystkich elementów zbioru $X$ równoważnych z $x$ . Jeżeli relacja równoważności znana jest z kontekstu, pisze się zwykle po prostu $[x]$ .

Dowolny element ustalonej klasy abstrakcji nazywa się jej reprezentantem, w szczególności reprezentantem klasy $[x]$ jest element $x$ . Każdy element $x \in X$ należy do dokładnie jednej klasy abstrakcji, mianowicie $[x]$ . Wynika stąd, że dwie klasy równoważności odpowiadające elementom $x$ i $y$ są albo identyczne, co zachodzi, gdy $x \sim y\;$ , albo rozłączne, gdy $x \not\sim y\;$ , czyli

$a \sim b\;$ wtedy i tylko wtedy, gdy $[a] = [b]\;$ .

[edytuj] Przestrzeń ilorazowa

Zobacz więcej w osobnym artykule: Przestrzeń ilorazowa.

W ten sposób na zbiorze $X$ wyznaczony jest podział na klasy abstrakcji. Wspomniany podział, czyli zbiór wszystkich warstw oznaczany $X/_\sim\;$ , nazywa się przestrzenią ilorazową lub ilorazem zbioru $X$ przez relację $\sim\;$ . Także dowolnemu podziałowi zbioru odpowiada pewna relacja równoważności. Relacji równoważności w zbiorze $X$ odpowiada relacja równości w przestrzeni ilorazowej $X/_\sim\;$ . Własność ta pozwala tworzyć nowe struktury, przez utożsamienie niektórych elementów w zbiorze (zob. sekcję tworzenie struktur).

[edytuj] Niezależność

Niech $P (x)$ będzie pewną własnością elementów $x$ taką, że jeśli $x \sim y\;$ , to $P (x)$ jest prawdziwe, o ile $P (y)$ jest prawdziwe. Wtedy własność $P$ nazywa się dobrze określoną lub niezależną od (wyboru reprezentantów) relacji $\sim\;$ (niektórzy autorzy piszą też „zgodną z $\sim$ ”). Sytuacja ta ma miejsce np. w teorii charakterów grup skończonych.

Częstym przypadkiem jest funkcja $f\colon X \to Y$ dowolnych zbiorów; jeżeli z $x_1 \sim x_2\;$ wynika $f (x 1) = f (x 2)$ , to o $f$ mówi się, że jest niezależna od wyboru reprezentantów relacji $\sim\;$ lub krótko: niezależna od $\sim\;$ . Przypadek ten można wyjaśnić za pomocą diagramu przemienności. Zobacz też: niezmiennik.

[edytuj] Rzutowanie

Przekształcenie $X \to X/_\sim\;$ dane wzorem $x \mapsto [x]\;$ (każdemu elementowi przypisana jest jego klasa abstrakcji) nazywa się odwzorowaniem ilorazowym, jest ono zawsze jest "na". Ponieważ utożsamianie pewnych elementów zbioru jest podobne do przeprowadzania geometrycznej operacji rzutu (w której utożsamiane są obiekty leżące "pod" rzutowanym obiektem), to przekształcenie to nazywa się również rzutowaniem kanonicznym (naturalnym).

Jeżeli na zbiorze $X$ ustalona jest struktura algebraiczna, to wymaga się zwykle, aby rzutowanie ją zachowywało (tzn. rzut danej algebry jest algebrą tego samego typu). Jeśli tak jest, to odwzorowanie ilorazowe nazywa się wtedy epimorfizmem kanonicznym (naturalnym).

Warto wspomnieć o klasie równoważności odpowiadającej elementowi $x$ relacji opisanej w sekcji niezależność dla funkcji $f$ . Jest nią przeciwobraz $f^{-1}\Big(\left\{f\scriptstyle{(x)}\right\}\Big)$ . Taką relację nazywa się niekiedy jądrem funkcji $f$ . Każdą relację równoważności można traktować jako jądro przekształcenia $x \mapsto [x]$ .

[edytuj] Dzielenie przez zbiór

Jeżeli relacja równoważności $\sim$ utożsamia ze sobą wszystkie elementy zbioru $A \subseteq X$ , tzn. $a, b \in A\Rightarrow a \sim b$ , to często "zapomina się" o niej i zamiast $X / ˜$ pisze się po prostu $X / A$ . Konstrukcję tę nazywa się czasami sklejeniem zbioru $A$ do punktu.

Uwaga!: W teorii grup to oznaczenie stosuje się dla grup ilorazowych, które są przykładami przestrzeni ilorazowych. Aby wynikiem „dzielenia” grupy $G$ pozostała grupa wymaga się, aby dzielnik $H$ nie był tylko zwykłą podgrupą, ale grupą specjalnego rodzaju nazywaną podgrupą normalną (inna nazwa to dzielnik normalny), która gwarantuje prawidłowość i jednoznaczność konstrukcji grupy ilorazowej.; Odpowiednia relacja równoważności dana jest następująco: jeśli $H$ jest podgrupą normalną w $G$ , to $G / H$ jest zbiorem klas abstrakcji relacji $˜ H$ zadanej wzorem $a\sim_H b\ \Leftrightarrow\ ab^{-1}\in H$ . Podobnie ma się rzecz z pierścieniami ilorazowymi i ideałami w teorii pierścieni, w ogólności jednak jednoznaczne struktury ilorazowe w pozostałych działach algebry powstają już wyłącznie przez wskazanie relacji, nie zaś podstruktury o specjalnych własnościach.

[edytuj] Przykłady

Określmy w zbiorze $A = {1,2,3,4,5,6,7}$ relację: $x \equiv y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x$ i $y$ dają taką samą resztę z dzielenia przez 3. Można łatwo sprawdzić, że jest to relacja równoważności. Klasami abstrakcji są:

$[1] = [4] = [7] = {1,4,7}$

$[2] = [5] = {2,5}$

$[3] = [6] = {3,6}$

Jak widać, poszczególne warstwy są rozłączne. Przestrzenią ilorazową jest zbiór:

$A/_\equiv = \Big\{\{1,4,7\}, \{2,5\}, \{3,6\}\Big\}$

W zbiorze wszystkich samolotów wprowadzamy relację: dwa samoloty są równoważne, gdy mogą przewieźć tę samą liczbę pasażerów. Relacja ta jest relacją równoważności – klasą abstrakcji danego samolotu zabierającego na pokład równo 50 osób jest zbiór wszystkich samolotów mogących przewieźć dokładnie 50 osób.
W dowolnym zbiorze $X$ zdefiniujmy relację:

$x\ R\ y\;$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x = y\;$ .

Jest to istotnie relacja równoważności nazywana równością. Klasami abstrakcji są zbiory jednoelementowe

{x}

W dowolnym grafie nieskierowanym $(V, E)$ zdefiniujmy relację na wierzchołkach:

$x\ R\ y$ , gdy istnieje ścieżka z $x$ do $y$ (być może jest to ścieżka pusta, jeżeli $x = y$ ).

Wyznaczony przez tę relację podział nazywa się podziałem grafu na spójne składowe.

Podobną relację określa się w grafach skierowanych: określamy, że $x\ S\ y$ , gdy istnieją ścieżki z $x$ do $y$ i z $y$ do $x$ . Relacja $S$ daje w wyniku podział grafu na silnie spójne składowe.
W zbiorze prostych na płaszczyźnie zdefiniujmy relację: proste $a$ i $b$ są równoważne, gdy są równoległe. Klasami abstrakcji są tu zbiory prostych równoległych (kierunki).

[edytuj] Tworzenie struktur

Jeżeli $\varphi\colon A \to B$ jest homomorfizmem pewnej algebry ogólnej $A$ na $B$ , to relacja

$a \backsim b \iff \varphi(a) = \varphi(b)$

określona w $A$ jest relacją równoważności (i warstwy $\varphi$ pokrywają się z klasami abstrakcji w relacji $\backsim$ ) . Określając w odpowiedni sposób działania w zbiorze $A/_\backsim$ wprowadzamy w nim strukturę algebry – ta algebra ilorazowa jest izomorficzna z $B$ . Konstrukcja ta jest wykorzystywana: