Pierwiastek algebraiczny
Z Wikipedii
Spis treści |
Pierwiastek algebraiczny – odpowiednik pierwiastka arytmetycznego dla liczb zespolonych.
[edytuj] Definicja
Pierwiastkiem algebraicznym stopnia 
z liczby 
nazywamy każdą liczbę 
spełniającą równość
- yn = x.
Dla każdej niezerowej liczby zespolonej istnieje dokładnie n jej różnych pierwiastków algebraicznych. Ważne zastosowania mają pierwiastki z jedynki.
Warto zauważyć, że pierwiastek algebraiczny nie jest działaniem (nie jest nawet funkcją). Do jego oznaczenia korzysta się z tego samego symbolu co dla pierwiastka arytmetycznego, czyli ![\sqrt[n] x](../../../../math/9/2/d/92d6ebbc9589ac530087aaba2d9b2bdc.png)
.
[edytuj] Wyznaczanie
Zobacz więcej w osobnym artykule: wzór de Moivre'a.Pierwiastki liczby zespolonej można łatwo wyznaczyć korzystając ze wzoru de Moivre'a:
![z_k = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \tfrac{\psi + 2k\pi}{n} + i\sin \tfrac{\psi + 2k\pi}{n}\right)](../../../../math/6/a/d/6ad5bb65445fe28fa14d73ca18aa18ab.png)
,
dla 
.
Warto pamiętać, że pierwiastki obliczane dla k oraz k + nq dla 
są sobie równe.
[edytuj] Przykłady
Obliczmy pierwiastki algebraiczne drugiego stopnia z liczby zespolonej z = − 4, przekształćmy ją uprzednio do postaci trygonometrycznej:
oraz 
, stąd | z | = 4. Jest 
, mamy więc z = 4(cosπ + isinπ).
Istnieją wyłącznie dwa różne pierwiastki, pierwiastek z0 obliczymy dla k = 0, pierwiastek z1 dla k = − 1:
,
.
