Pierwiastek z jedynki

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Pierwiastki
2 Przykłady
3 Grupa
4 Interpretacja geometryczna
5 Bibliografia
6 Zobacz też

Pierwiastek z jedynki (liczba de Moivre'a) – pierwiastek algebraiczny z liczby $1$ , nazwa alternatywna pochodzi od nazwiska Abrahama de Moivre'a, matematyka francuskiego.

[edytuj] Definicja

Pierwiastkiem z jedynki stopnia $n$ (będącego liczbą naturalną) nazywamy każdą liczbę zespoloną $z$ spełniającą równość:

z n = 1

[edytuj] Pierwiastki

Istnieje dokładnie $n$ różnych pierwiastków stopnia $n$ z jedynki:

$\varepsilon_n^{(k)} = \cos\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right) = e^\tfrac{2\pi i k}{n}$ , gdzie $k = 0, 1, \dots, n-1$ .

Dla $n > 1$ wszystkie pierwiastki z jedynki $n$ -tego stopnia sumują się do $0$ :

$\sum_{k=0}^{n-1} e^\tfrac{2\pi i k}{n} = 0$ .

Przypadek $n = 2$ powyższej tożsamości jest znana szerzej pod nazwą tożsamości Eulera.

[edytuj] Przykłady

Istnieje tylko jeden pierwiastek z jedynki pierwszego stopnia – równy $1$ .
Pierwiastkami kwadratowymi jedynki są $+ 1$ oraz $- 1$ .
Pierwiastki sześcienne z jedynki to

$1, \tfrac{-1 + i\sqrt 3}{2}, \tfrac{-1 - i\sqrt 3}{2}$ ,
Pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki są elementy zbioru

${1, + i, - 1, - i}$ .

[edytuj] Grupa

Zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych stopnia $n$ z jedynki, czyli

$\mathbb C_n = \{\varepsilon_n^{(k)}\colon k = 0, 1, \dots, n-1\} = \left\{\cos\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right)\colon k = 0, 1, \dots, n-1\right\}$

tworzy grupę ze względu na mnożenie.

Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu $n$ , zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt $\mathbb Z_n$ . Generatorami tej grupy są te pierwiastki $\varepsilon_n^{(k)}$ dla których $NWD(n, k) = 1$ , czyli liczby $n$ i $k$ są względnie pierwsze. Liczba generatorów dana jest przez $\varphi(n)$ , gdzie $\varphi$ jest funkcją Eulera.

Grupy $\mathbb C_n$ wyczerpują skończone podgrupy grupy multyplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy

$\mathbb C_{p^\infty} \overset\underset\mathrm{def}\ = \bigcup_{n=1}^\infty~\mathbb C_{p^n}$ ,

gdzie $p$ jest ustaloną liczbą pierwszą.

[edytuj] Interpretacja geometryczna

Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki $n$ -tego stopnia z jedności odpowiadają wierzchołkom wielokąta foremnego o $n$ bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie $1$ .

[edytuj] Bibliografia

Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.

[edytuj] Zobacz też

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.

Kategorie: Zalążki artykułów - matematyka • Analiza zespolona • Teoria ciał

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Pierwiastek z jedynki

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Pierwiastki

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Grupa

[edytuj] Interpretacja geometryczna

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach