Przestrzeń Baire'a

Z Wikipedii

Przestrzeń Baire'a to termin w topologii i teorii mnogości, który jest używany w dwóch znaczeniach. Może on odnosić się do pewnej własności przestrzeni topologicznych, ale jest to też nazwa szczególnego przykładu takiej przestrzeni.

W obydwóch przypadkach, ta nazwa została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka René-Louisa Baire'a.

Spis treści

1 Własność przestrzeni topologicznych
2 Szczególna przestrzeń topologiczna
- 2.1 Definicja
- 2.2 Własności i zastosowanie
3 Zobacz też

[edytuj] Własność przestrzeni topologicznych

[edytuj] Definicja

Niech $(X,τ)$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że $X$ jest przestrzenią Baire'a jeśli przekrój każdej przeliczalnej rodziny otwartych gęstych podzbiorów $X$ jest gęstym podzbiorem $X$ .

Niektórzy autorzy używają zwrotu $X$ ma własność Baire'a (zamiast " $X$ jest przestrzenią Baire'a"). Należy jednak zwrócić uwagę, że podobna terminologia jest używana dla określenia własności Baire'a podzbiorów przestrzeni.

[edytuj] Przykłady

Prosta rzeczywista ${\mathbb R}$ i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych ${\mathbb R}^n$ jest przestrzenią Baire'a.
Każda przestrzeń dyskretna jest przestrzenią Baire'a.
Każda przestrzeń polska i ogólniej każda przestrzeń zupełna jest przestrzenią Baire'a.
Każda lokalnie zwarta przestrzeń T₂ jest przestrzenią Baire'a.
Przestrzenie zupełne w sensie Čecha są przestrzeniami Baire'a.

[edytuj] Własności

Niech $(X,τ)$ będzie przestrzenią topologiczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

$X$ jest przestrzenią Baire'a,
żaden otwarty niepusty podzbiór $X$ nie jest pierwszej kategorii,
wnętrze sumy przeliczalnie wielu zbiorów nigdziegęstych jest puste,
dla każdych domkniętych zbiorów $F_1,F_2,F_3,\ldots\subseteq X$ , jeśli ${\rm int}\big(\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\big)\neq\emptyset$ , to ${\rm int}(F_i)\neq\emptyset$ dla pewnego $i$ .

[edytuj] Szczególna przestrzeń topologiczna

[edytuj] Definicja

Nazwa przestrzeń Baire'a jest też używana dla określenia przestrzeni wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach w liczbach naturalnych. Niech ${\mathbb N}^{\mathbb N}$ będzie zbiorem wszystkich ciągów liczb naturalnych, czyli zbiorem wszystkich funkcji z ${\mathbb N}$ w ${\mathbb N}$ . Zbiór ten może być traktowany jako produkt $\prod\limits_{i=1}^\infty {\mathbb N}$ przeliczalnie wielu kopii zbioru ${\mathbb N}$ . Jeśli na zbiorze liczb naturalnych wprowadzimy topologię przestrzeni dyskretnej, to wtedy na zbiorze $\prod\limits_{i=1}^\infty {\mathbb N}$ możemy wprowadzić topologię produktową $τ B$ . Przestrzeń topologiczna $({\mathbb N}^{\mathbb N},\tau_B)$ jest nazywana przestrzenią Baire'a.

W teorii mnogości, przestrzeń Baire'a jest często oznaczana przez $ω ω$ (jako że zbiór liczb naturalnych jest tam oznaczany przez $ω$ ). W opisowej teorii mnogości zwyczajowo przestrzeń Baire'a jest oznaczana przez ${\mathcal N}$ . To ostatnie oznaczenie będzie używane poniżej.

[edytuj] Własności i zastosowanie

Przestrzeń Baire'a jest przestrzenią polską. Odpowiednia metryka może być zdefiniowana następująco. Dla różnych $f,g\in {\mathcal N}$ kładziemy $n(f,g)=\min\{n\in {\mathbb N}:f(n)\neq g(n)\}$ . Definiujemy

$d (f, g) = 0$ jeśli $f = g$ oraz $d (f, g) = 2 - n (f, g)$ w przeciwnym wypadku.

Łatwo można sprawdzić że

d

jest metryką zupełną na zbiorze ${\mathbb N}^{\mathbb N}$ generującą topologię

τ B

${\mathcal N}\times{\mathcal N}$ jest homeomorficzne z ${\mathcal N}$ . I ogólniej, produkt przeliczalnie wielu kopii przestrzeni ${\mathcal N}$ jest homeomorficzny z ${\mathcal N}$ .
Przestrzeń ${\mathcal N}$ jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych (wyposażonych w topologię podprzestrzeni ${\mathbb R}$ ).
Przestrzeń ${\mathcal N}$ jest jedną z przestrzeni standardowo używaną w opisowej teorii mnogości, m.in. przy definiowaniu hierarchii zbiorów rzutowych.
W dodatku do struktury topologicznej, ${\mathcal N}$ ma naturalną strukturę praporządku. Określmy relację $\leq^*$ na ${\mathcal N}$ przez

$f\leq^* g$ wtedy i tylko wtedy gdy $\big(\exists N\in {\mathbb N}\big)\big(\forall n\geq N\big)(f(n)\leq g(n)\big)$

Wówczas $\leq^*$ jest praporządkiem (ale nie porządkiem częściowym). Szereg współczynników kardynalnych studiowanych w teorii mnogości związanych z tym praporządkiem ma też znaczenie dla struktury topologicznej ${\mathcal N}$ . Np liczba dominująca ${\mathfrak d}$ występująca w diagramie Cichonia jest minimalną liczbą zwartych podzbiorów ${\mathcal N}$ potrzebnych do pokrycia całej przestrzeni.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Teoria mnogości • Topologia

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Przestrzeń Baire'a

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Własność przestrzeni topologicznych

[edytuj] Definicja

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Własności

[edytuj] Szczególna przestrzeń topologiczna

[edytuj] Definicja

[edytuj] Własności i zastosowanie

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach