Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)
Z Wikipedii
Przestrzeń ilorazowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa otrzymana z innej poprzez „zwinięcie” podprzestrzeni liniowej do zera.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, zaś N podprzestrzenią V. Zdefiniujmy na V relację równoważności taką, że , czyli x jest w relacji z y wtedy, gdy jedna z wartości może być otrzymana z drugiej poprzez dodanie elementu z N. Klasa równoważności x jest często oznaczana przez
- ,
ponieważ jest dana jako
- .
Klasy równoważności tej relacji nazywane są również warstwami względem podprzestrzeni N wznaczonymi przez wektor x.
Przestrzeń ilorazowa V / N jest wówczas zdefiniowana jako V / ˜, czyli zbiór wszystkich warstw (klas równoważności) nad V. Iloczyn skalarny oraz dodawanie klas równoważności jest zdefiniowane przez równości
- α[x] = [αx] dla każdego ,
- [x] + [y] = [x + y].
Sprawdzenie, że działania te są dobrze zdefiniowane (tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów) nie jest trudne, operacje te przemieniają V / N w przestrzeń liniową nad K.
[edytuj] Przykłady i własności
Najprostszym przykładem jest iloraz przestrzeni . Niech , zaś podprzestrzenią rozpinaną przez pierwsze m wektorów bazy kanonicznej. Dwa wektory są określane jako równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy są zgodne na ostatnich n − m współrzędnych. Przestrzeń ilorazowa jest izomorficzna z w oczywisty sposób.
Ogólniej, jeżeli V daje się zapisać jako (wewnętrzna) suma prosta podprzestrzeni U i W:
- ,
to przestrzeń ilorazowa V / U jest naturalnie izomorficzna z W.
Jeżeli U jest podprzestrzenią V, to kowymiar przestrzeni U w V jest zdefiniowany jako wymiar V / U. Jeżeli V jest przestrzenią skończonego wymiaru, to jest to po prostu różnica wymiarów V oraz U:
- .
Istnieje naturalny epimorfizm, zwany epimorfizmem kanonicznym, z V na przestrzeń ilorazową V / U dany jako przesłanie elementu x na jego klasę równoważności [x]. Jądrem tego epimorfizmu jest podprzestrzeń U.
Niech będzie przekształceniem liniowym. Jądrem T, oznaczanym przez jest zbiór wszystkich takich, że Tx = 0. Jądro jest podprzestrzenią V. Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie algebry liniwej mówi, że przestrzeń ilorazowa jest izomorficzna z obrazem V w W. Bezpośrednim wnioskiem (dla przestrzeni skończeniewymiarowych) jest twierdzenie twierdzenie o rzędzie: wymiar V jest równy sumie wymiarów jądra i obrazu.
Kojądro operatora liniowych jest zdefiniowane jako przestrzeń ilorazowa , zaś .
Jeżeli T będzie dane tak, aby , zaś będzie epimorfizmem kanonicznym, to istnieje wówczas dokładnie jedno przekształcenie liniowe , że . Ponadto jeśli:
- S jest epimorfizmem, to T również jest epimorfizmem,
- , to S jest monomorfizmem.
[edytuj] Przestrzenie Banacha
Jeżeli X jest przestrzenią Banacha, a M domkniętą podprzestrzenią X, to iloraz X / M również jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ilorazowa posiada już strukturę przestrzeni liniowej na podstawie powyższych rozważań. Zdefiniujmy normę na X / M wzorem
- .
Przestrzeń ilorazowa X / M jest zupełna względem tej normy, zatem jest to przestrzeń Banacha.
[edytuj] Przykłady
Niech C[0,1] oznacza przestrzeń Banacha funkcji rzeczywistych na przedziale [0,1], zaś M oznacza podprzestrzeń wszystkich funkcji takich, że f(0) = 0. Wówczas warstwa (klasa równoważności) danej funkcji g jest określona poprzez jej wartość w zerze, a przestrzeń ilorazowa C[0,1] / M jest izomorficzna z .
Jeżeli X jest przestrzenią Hilberta, to przestrzeń ilorazowa X / M jest izomorficzna z dopełnieniem ortogonalnym M.