Twierdzenie o trzech ciągach
Z Wikipedii
Twierdzenie o trzech ciągach mówi, że jeśli dane są trzy ciągi liczb rzeczywistych an, bn i cn takie, że dla prawie wszystkich n
oraz 
wówczas
Analogiczne twierdzenie można udowodnić także dla funkcji; znane jest ono pod nazwą twierdzenia o trzech funkcjach.
Intuicyjnie jasne, twierdzenie to było stosowane w formie geometrycznej już przez Archimedesa i Eudoksosa. Obecną formę nadał mu Gauss.
Żartobliwie o twierdzeniu o trzech ciągach mówi się "twierdzenie o milicjantach". Sformułowane zostało podczas stanu wojennego w Polsce (1981-1983). Brzmi ono następująco: jeśli idziesz między dwoma milicjantami zmierzającymi do tego samego komisariatu, to też tam trafisz. We Włoszech, twierdzenie o trzech ciągach nosi nazwę "twierdzenia o karabinierach".
[edytuj] Dowód
1. Ustalmy 
.
2. Ciąg an jest zbieżny, więc istnieje 
, że dla każdego 
zachodzi: 
. Jak łatwo zauważyć, 
. Analogicznie, istnieje takie 
, że dla każdego 
zachodzi: 
.
3. Otrzymujemy stąd, że dla każdej liczby 
:
,
czyli
Otrzymujemy stąd:
[edytuj] Przykład
Obliczyć ![\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}](../../../../math/6/d/9/6d9d450aa887c51a23e988f5b6539434.png)
.
Zauważmy, że ![\sqrt[n]{4^n}\leq\sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}\leq \sqrt[n]{4^n+4^n+4^n}=\sqrt[n]{3\cdot4^n}=4\cdot\sqrt[n]{3}.](../../../../math/0/5/d/05d0d91bc08d2ad8557e8eb031de8d85.png)
Ponieważ ![\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1](../../../../math/1/6/0/16026c088fbbca47d7fbe73413059ea3.png)
dla dowolnej liczby 
więc ![\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3}=1](../../../../math/1/6/e/16ebe9a4aa5cfb837e28d358ddd0735f.png)
, a zatem ![\lim_{n\to\infty}4\cdot\sqrt[n]{3}=4](../../../../math/5/0/7/507f819a869213f30ff405020c11a09b.png)
.
Oczywiście, również ![\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{4^n}=4](../../../../math/4/1/9/419c93cd749575d5c5031bb61dfdf2ac.png)
, a więc szukaną granicą jest 4.
