Zagadnienie własne dla operatora Laplace'a
Z Wikipedii
Operator T odwrotny do operatora Laplace'a definiujemy nasępująco. Rozpatrzmy zagadnienie własne dla równania Poissona z zerowymi warunkami brzegowymi, tj.
gdzie 
jest wartością własną operatora Laplace'a, a funkcja 
funkcją własną. W języku przestrzeni Sobolewa możemy napisać, że 
. Zdefiniujmy operator:
następująco:
tj. u jest słabym rozwiązaniem równania Poissona.
[edytuj] Własności operatora odwrotnego do operatora Laplace'a
- Operator T jest dobrze określony, liniowy, ciągły.
- Operator T jest zwarty.
- Operator T jest samosprzężony.
[edytuj] Wartości własne operatora Laplace'a
Z twierdzenia spektralnego dla operatorów zwartych i samosprzężonych wynika, że:
- Wszystkie wartości własne operatora Laplace'a na ograniczonym obszarze
są dodatnie, mają skończone krotności, a 
jest punktem skupienia wartości własnych. - Istnieje baza ortonormalna przestrzeni
złożona z funkcji własnych laplasjanu.
[edytuj] Zobacz też
- twierdzenie spektralne
