Funkcja odwrotna

Z Wikipedii

Funkcja odwrotna do funkcji $f: X \to Y$ , to taka funkcja $f^{-1}: Y \to X$ , której złożenia z funkcją $f\,\!$ są funkcją tożsamościową:

$(f^{-1} \circ f)(x) = x$ dla wszystkich $x \in X$ oraz

$(f \circ f^{-1})(y) = y$ dla wszystkich $y \in Y.$

Uwaga odnośnie notacji: symbol $- 1$ w indeksie górnym jest szerzej stosowany do oznaczenia elementów odwrotnych, nie oznacza jednak odwrotności mnożenia.

Spis treści

1 Własności
2 Przykłady
3 Wyznaczanie funkcji odwrotnej
- 3.1 Przykład
4 Zobacz też

[edytuj] Własności

Funkcja odwrotna do funkcji $f$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest funkcją różnowartościową i "na", czyli funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją).

Tak więc skoro $f - 1$ jest funkcją odwrotną do $f$ , to jasnym jest, iż $f$ jest funkcją odwrotną do $f - 1$ . Funkcje $f$ oraz $f - 1$ nazywamy wtedy funkcjami wzajemnie odwrotnymi. Jeżeli taka funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona jedyna, zaś samą funkcję $f$ nazywamy funkcją odwracalną.

Własności funkcji odwrotnej są ściśle związane z własnościami funkcji danej – poniższa tabela przedstawia niektóre z tych powiązań dla rzeczywistej funkcji f.

funkcja $f$	funkcja $f - 1$
rosnąca	rosnąca
malejąca	malejąca
ciągła	ciągła
różniczkowalna	różniczkowalna, $y=f(x) \implies \left(f^{-1}\right)^\prime(y)={1\over f^\prime(x)}$ , jeśli $f'(x) \ne 0$ i $(f^{-1})'(y) \ne 0$
wykres $f - 1$ jest symetryczny do wykresu $f$ względem prostej $y = x$

[edytuj] Przykłady

Dla funkcji określonych na zbiorze liczb rzeczywistych

funkcją odwrotną do $y = 3 x$ jest funkcja $y = {x \over 3}$ ,
funkcją odwrotną do $f (x) = 3 x - 2$ jest funkcja $f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}$ ,
funkcja $g (x) = x 2$ nie ma odwrotnej, jeżeli za jej dziedzinę przyjmiemy zbiór liczb rzeczywistych, ma natomiast odwrotną, jeżeli za dziedzinę przyjmiemy zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych; funkcją odwrotną jest wtedy funkcja $g^{-1}=\sqrt x$ ,
funkcją odwrotną do $h: R\setminus \{0\} \to R\setminus \{0\}$ danej wzorem $h(x) = \frac{1}{x}$ jest ta sama funkcja: $h = h - 1$ ,
funkcją odwrotną do funkcji logarytmicznej jest funkcja wykładnicza.

[edytuj] Wyznaczanie funkcji odwrotnej

Aby wyznaczyć funkcję odwrotną do danej, należy rozwiązać równanie:

y = f (x)

w którym niewiadomą jest $x$ . W otrzymanej zależności

x = g (y)

$g = f - 1$ jest szukaną funkcją odwrotną.

[edytuj] Przykład

Niech $f (x) = 2 x - 2$ .

Wówczas, oznaczając zmienną zależną przez $y$ , mamy $y = 2 x - 2$ , a stąd $y + 2 = 2 x$ oraz

$x = \frac{y + 2}{2} = {y \over 2} + 1 = g(y)$ .

Zatem funkcja odwrotna ma wzór $g(y) = f^{-1}(y) = {y \over 2} + 1$ . Ponieważ zmienną niezależną oznaczamy zwykle przez $x$ , to w ostatniej równości możemy podstawić $x$ w miejsce $y$ otrzymując