Zasada nieoznaczoności

Z Wikipedii

Dane dotyczące rozkładu prędkości atomów dla kondensatu Bosego-Einsteina pozwalają dostrzec w eksperymencie wpływ zasady nieoznaczoności na obiekty kwantowe. Kolory umowne oznaczają ilość atomów odpowiadających każdej prędkości – czerwony oznacza mniejszą ilość, a biały większą. Lewy: tuż przed pojawieniem się kondensatu Bosego-Einsteina. Środkowy: zaraz po otrzymaniu kondensatu. Prawy: Po dalszym parowaniu pozostała próbka prawie czystego kondensatu. Nachylenie zbocza szczytu musi być łagodne, bo inaczej złamana zostałaby zasada nieoznaczoności: Błąd określenia pozycji atomów jest bardzo mały i dlatego błąd pomiaru pędu (prędkości) musi być odpowiednio większy, aby ich iloczyn był większy niż stała

Zasada nieoznaczoności (zasada nieokreśloności) mówi, że istnieją takie pary wielkości, których nie da się jednocześnie zmierzyć z dowolną dokładnością. O wielkościach takich mówi się, że nie komutują. Akt pomiaru jednej wielkości wpływa na układ tak, że część informacji o drugiej wielkości jest tracona. Zasada nieoznaczoności nie wynika z niedoskonałości metod ani instrumentów pomiaru, lecz z samej natury rzeczywistości.

[edytuj] Matematyczna postać zasady

Zasada nieoznaczoności mówi, że nie można z dowolną dokładnością wyznaczyć jednocześnie położenia i pędu cząstki. Odkryta i sformułowana przez Wernera Heisenberga w 1927 roku, jest konsekwencją dualizmu korpuskularno-falowego. Matematyczna postać zasady:

$\Delta x \Delta p_x \ge \frac{h}{4\pi} = \frac{\hbar}{2}$

gdzie:

Δx - nieokreśloność pomiaru położenia (odchylenie standardowe położenia),
Δp_x - nieokreśloność pomiaru pędu (wariancja pędu),
h - stała Plancka,
π - pi.

Jest uogólniana na inne pary (kanonicznie sprzężonych) wielkości fizycznych, np. czas i energię - nie można z dowolną dokładnością wyznaczyć jednocześnie czasu życia nietrwałej cząstki i energii stowarzyszonej z nią fali de Broglie'a:

$\Delta E \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$

gdzie:

ΔE - nieokreśloność pomiaru energii (odchylenie standardowe energii),
Δt - nieokreśloność pomiaru czasu (odchylenie standardowe czasu).

Zależność ta pierwszy raz została zaproponowana przez Leonida Mandelshtama oraz Igora Tamma w roku 1945.

Ważne jest by podkreślić, że Δx, itd. nie są błędami pomiarowymi wynikającymi z niedoskonałości urządzeń lub metody pomiarowych, ale rozrzutami wyników (wariancją) wynikających z istoty samego pomiaru lub istoty samej mechaniki kwantowej (interpretacja Kopenhaska). Z matematycznego punktu widzenia zasada nieoznaczoności jest konsekwencją braku komutacji operatorów położenia i pędu

$[ x, p_x ]= i\hbar$

gdzie komutator [A,B]=AB - BA. W mechanice kwantowej operatory opisujące wielkości fizyczne (observable) nie muszą komutować (być przemienne). Konsekwencją tego jest zasada nieoznaczoności. Zachodzi ona dla dowolnych dwóch obserwabli (A i B) gdy tylko [A,B] jest różne od zera.

Samą zasadę nieoznaczoności można spróbować zrozumieć na przykładzie: wyobraźmy sobie, że wykonujemy zdjęcie aparatem fotograficznym. Na zdjęciu widzimy pędzący samochód, o znanej długości. W zależności od szybkości migawki ruszający się samochód będzie mniej lub bardziej rozmyty. Jeżeli czas naświetlania będzie duży, to samochód wyda się na zdjęciu dłuższy. Jeżeli zmierzymy długość samochodu na zdjęciu, to możemy określić jego prędkość: $v = (l' - l) / t$

przy czym l' - długość samochodu na zdjęciu

l - rzeczywista długość samochodu

t - czas otwarcia migawki

(długości l' i l muszą być w jednej skali)

W tej sytuacji nie da się jednak dokładnie określić położenia samochodu, bo obraz jest rozmyty.

Zmniejszając czas migawki uzyskamy mniej rozmyty obraz, który pozwoli na lepsze określenie położenia samochodu w chwili robienia zdjęcia, jednak będzie on mniej rozmyty i dokładne określenie prędkości będzie coraz trudniejsze. W granicznym przypadku (t=0) będzie można precyzyjnie określić położenie, ale nie uzyska się żadnych informacji o prędkości.

Powyższy przykład nie odpowiada w pełni zasadzie nieoznaczoności; został tu podany jedynie w celu ułatwienia zrozumienia istoty tej zasady.

ksg

[edytuj] Kwantowe implikacje

W świecie kwantowym nie ma możliwości dokładnego pomiaru jednocześnie położenia i pędu cząstki, gdyż każdy pomiar z samej swojej natury wpływa na badany obiekt, zmieniając jego właściwości. Można przewidywać jedynie średnie wyniki z serii wielu pomiarów. Ważne jest by podkreślić, że Δx, itd. nie są błędami pomiarowymi wynikającymi z niedoskonałości urządzeń lub metod pomiarowych, ale niepewnościami wyników (wariancją) wynikających z istoty samego pomiaru.

Sam pomiar bowiem w przeważającej większości przypadków zmienia stan układu. Przykładowo, obserwując dany obiekt oświetlamy go fotonami. Im dokładniej chcemy zbadać położenie obiektu, tym krótsza musi być długość fali fotonów używanych do obserwacji. Fotony o krótszej długości fali niosą większą energię i pęd, a przez to bardziej zaburzają badany układ.

Stała Plancka $h = 6.626 * 10 - 34 J s$ wyznacza tu pewną charakterystyczną skalę. Obiekty, dla których długość fali jest zbliżona do jej wielkości, nabierają na skutek działania niesamowite własności. Przykładem może być tu elektron, który na skutek tunelowania, może przejść przez odpowiednio wąską barierę potencjału mimo, że jego energia jest mniejsza od wysokości tej bariery.

Zależność opisująca zasadę nieoznaczoności dla energii i czasu prowadzi do zaskakującego wniosku. Mechanika kwantowa pozwala na pozorne złamanie zasady zachowania energii. Z nicości może wyłonić się wirtualna cząstka, jeżeli po chwili ponownie zniknie. Proces ten nazywany jest fluktuacją kwantową i zachodzi tak szybko, że nie jest dla nas zauważalny. Zgodnie z mechaniką kwantową najdoskonalsza próżnia wypełniona jest oceanem wirtualnych cząstek, które stale pojawiają się i znikają. W skali makro bilans energetyczny wychodzi na zero, dzięki czemu zasada zachowania energii nie zostanie złamana. Eksperymentalnie można zaobserwować istnienie wirtualnych cząstek dzięki efektowi Casimira.

Jednak obiekty fizyczne znacznie większe od długości Plancka nie mają takich własności. Przykładowo, mrówka o masie 0,1 g i długości 1 mm, która w czasie 1 s pokonuje drogę 1 mm ma pęd równy 0,1 g mm/s. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności jej pozycję i pęd można równocześnie zmierzyć z dokładnością nie większą niż do 10 miejsca po przecinku. Taka dokładność jest zupełnie wystarczająca w codziennych doświadczeniach, dlatego efekty kwantowe nie są tu możliwe do zaobserwowania.

[edytuj] Minimalna długość i czas

Naukowcy spierają się co do skutków zasady nieoznaczoności. Jedną z jej implikacji jest istnienie pewnej elementarnej długości Plancka, która wyznacza granice pomiarów. Jej wartość szacuje się na 10^-35 metra. Wartość tę można interpretować w ten sposób, że każda inna długość jest jej wielokrotnością. Idąc dalej niektórzy naukowcy uważają, że czas też nie płynie w sposób ciągły, lecz zmienia się skokowo. Na jedną sekundę przypada ok. 5 x 10⁴⁴ elementarnych kroków, w których zmienia się stan naszego otoczenia. Odwrotność tej liczby określa się jako czas Plancka. Jednak długość Plancka i czas Plancka znajduje się daleko poza zasięgiem dokładności pomiarów nawet w największych akceleratorach cząstek.

[edytuj] Praktyczne implikacje

Zasada nieoznaczoności wydaje się mieć niewielki wpływ na codzienne życie. Postęp techniki i nauki zdaje się dowodzić, jak precyzyjnie fizyka determinuje wszystkie cechy świata wokół nas. Jednak obraz ten jest bardzo zwodniczy. Osiągnięcia w technice sprowadzają się do zdolności budowania maszyn, których konstrukcja redukuje do minimum element niepewności. Jeżeli jakieś zjawisko, jest zależne od kwantowych fluktuacji, to nie jest ono stosowane w technice. Technologia nie wymaga całkowitego zrozumienia otaczającego nas wszechświata, żeby budować działające maszyny.

Istnienie elementu losowego powoduje jednak, że ogromna ilość zjawisk wokół nas jest bardzo nieprzewidywalna. Niektóre wytwory natury są bardzo podatne na efekt motyla. Oznacza to, że małe przypadkowe zdarzenie w kwantowym świecie prowadzi do bardzo dużych zmian. Zjawisko to dotyczy wytworów ewolucji, a więc i ludzi.

Przykładem może tu być proces replikacji DNA, w którym zasada nieoznaczoności nieuchronnie prowadzi do błędów i starzenia oraz śmierci. Podobnie jest z działaniem ludzkiego mózgu. Gdybyśmy postawili obok siebie dwóch ludzi będących identycznymi co do atomu kopiami, to po kilku latach okazałoby się, że obaj staliby się zupełnie innymi osobami. Kwantowa niepewność spowodowałaby, że ich umysły w kluczowych momentach podejmowałyby zupełnie inne decyzje i ich drogi życiowe potoczyłyby się w różnych kierunkach.

Technologia wytwarzania procesorów i innych układów elektronicznych dochodzi do miejsca, gdzie efekty kwantowe stają się istotne.

[edytuj] Ogólna postać zasady

Jeżeli w danym stanie kwantowym $|\psi\rangle$ wektory $\hat{A}|\psi\rangle$ i $\hat{B}|\psi\rangle$ są prawidłowo określonymi wektorami stanu, to zachodzi:

$\sigma ^{2} (\hat{A})\sigma ^{2} (\hat{B}) \geq \frac{1}{4} \left | \langle \psi| [\hat{A},\hat{B}] |\psi \rangle \right | ^{2}$

gdzie:

$σ$ - odchylenie standardowe $\hat{A},\hat{B}$ - dowolne obserwable

[edytuj] Dowód

Z nierówności Schwartza w przestrzeni Hilberta

$\,\langle \psi |\hat{A}^2 | \psi \rangle \langle \psi |\hat{B}^2| \psi \rangle \geq \left |\langle \psi| \hat{A} \hat{B}|\psi \rangle \right |^2$

Z nierówności trójkąta dla liczb zespolonych $4 \left | \langle \hat{A} \hat{B} \rangle \right |^2= \left (\left |\langle \psi |\hat{A} \hat{B}| \psi \rangle \right |+\left |\langle \psi |\hat{B} \hat{A}| \psi \rangle \right| \right)^2 \geq \left |\langle \psi |[\hat{A}, \hat{B} ]|\psi \rangle \right |^2=\left |\langle \psi |\hat{A} \hat{B} |\psi \rangle - \langle \psi |\hat{B} \hat{A} |\psi \rangle \right|^2$