Zbieżność punktowa ciągu funkcji
Z Wikipedii
Definicja intuicyjna:
Zbieżność punktowa ciągu funkcji to własność ciągu funkcji, która oznacza, że dla każdego argumentu odpowiedni ciąg wartości jest zbieżny.
Zbieżność punktowa ciągu funkcji – własność ciągu funkcji pomiędzy przestrzeniami metrycznymi.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech (X,ρX), (Y,ρY) będą przestrzeniami metrycznymi i niech (dla
). Powiemy, że ciąg funkcji
jest zbieżny punktowo do funkcji
, jeżeli
Zapis ten można rozumieć w następujący sposób: dla każdego istnieje granica
i jest nią f(x0).
Jeśli ciąg funkcji jest zbieżny punktowo do funkcji f, to mówimy też, że f jest granicą punktową ciągu
.
[edytuj] Przykłady
- Każdy ciąg stały jest zbieżny punktowo (do swojego stałego wyrazu).
- Granica punktowa ciągu funkcji ciągłych nie musi być funkcją ciągłą. Na przykład, rozważmy funkcje
dane przez formułę fn(x) = sinn(x) dla
(gdzie
). Ciąg
jest zbieżny punktowo do funkcji
danej przez
- Granica punktowa ciągu funkcji, które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła. Rozważmy np funkcję Dirichleta
i połóżmy
dla
. Wówczas ciąg
jest zbieżny punktowo do funkcji stałej f(x) = 0.
- Przypuśćmy, że
jest funkcją różniczkowalną i g jest funkcją pochodną funkcji f. Wówczas można znaleźć funkcje ciągłe
(dla
) takie, że ciąg
jest punktowo zbieżny do funkcji g.
- Z twierdzenia Weierstrassa można wywnioskować, że każda funkcja ciągła
jest granicą punktową ciągu wielomianów.
[edytuj] Przykładowe własności
- Jeśli
oraz ciąg
jest zbieżny punktowo do funkcji f, a ciąg
jest zbieżny punktowo do funkcji g oraz
, to
- ciąg
jest zbieżny punktowo do funkcji
,
- ciąg
jest zbieżny punktowo do funkcji
,
- jeśli dodatkowo
dla wszystkich
, to ciąg
jest zbieżny punktowo do funkcji
.
- ciąg
- Jeśli
(dla
) są funkcjami ciągłymi zbieżnymi punktowo do funkcji
, to f jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów borelowskich. (Zobacz więcej w sekcji o klasach Baire'a poniżej.)
- Twierdzenie Baire'a: Jeśli X,Y są przestrzeniami metrycznymi,
(dla
) są funkcjami ciągłymi, oraz ciąg
jest zbieżny punktowo do funkcji
, to zbiór
nie jest ciągła w punkcie x}
- jest pierwszej kategorii.
- Z twierdzenia Jegorowa wynika, że jeśli
są funkcjami mierzalnymi w sensie miary Lebesgue'a i ciąg
jest zbieżny punktowo do funkcji
, to dla każdego dodatniego
można wybrać zbiór
taki, że
oraz ciąg
jest zbieżny jednostajnie do funkcji f | E.
[edytuj] Klasy Baire'a
Zbieżność punktowa ciągu funkcji jest jednym z narzędzi używanych do badań struktury porządnych funkcji pomiędzy przestrzeniami polskimi. Można się umówić, że funkcje ciągłe są bardzo porządne, ich granice punktowe też są porządne (choć mniej), granice punktowe tychżesz granic są troszkę mniej porządne itd. Tak zasugerowany kierunek badań porządnych funkcji z przestrzeni euklidesowej w liczby rzeczywiste
był zapoczątkowany przez francuskiego matematyka René-Louisa Baire'a w 1899[1]. Tematyka ta była rozwinięta przez Henri Lebesgue'a w 1905[2]. Polski matematyk, Stefan Banach, uogólnił te rozważania na przypadek przestrzeni polskich w 1931[3].
Poniżej X,Y są przestrzeniami polskimi, z kolei jest przestrzenią Baire'a.
- Powiemy, że funkcja
jest
-mierzalna (dla przeliczalnej liczby porządkowej ξ < ω1) jeśli dla każdego zbioru otwartego
mamy, że
. (Definicja klas borelowskich
jest podana w artykule o zbiorach borelowskich.)
- Zauważmy że funkcje ciągłe to dokładnie funkcje
-mierzalne. Nietrudno sprawdza się też, że
jest borelowsko mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy f jest
-mierzalna dla pewnego ξ < ω1.
- Można udowodnić, że funkcja
jest
-mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy f jest granicą punktową funkcji ciągłych.
- Przez indukcję po liczbach porządkowych ξ < ω1 określamy kiedy funkcja
jest klasy Baire'a ξ :
- f jest klasy Baire'a 0, jeśli f jest ciągła,
- f jest klasy Baire'a 1, jeśli f nie jest ciągła, ale jest
-mierzalna,
- f jest klasy Baire'a ξ, jeśli nie jest ona żadnej klasy ζ dla ζ < ξ, ale jest granicą punktową pewnego ciągu funkcji
, gdzie każda fn jest klasy Baire'a ζn < ξ.
- Okazuje się, że jeśli
jest klasy Baire'a ξ, to jest ona
-mierzalna. I na odwrót, jeśli
jest
-mierzalna, to jest ona klasy Baire'a ζ dla pewnego
.
[edytuj] Zobacz też
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
- zbieżność jednostajna,
- zbieżność monotoniczna,
- zbieżność prawie jednostajna
- zbieżność prawie wszędzie
- zbieżność według miary.
[edytuj] Bibliografia
- ↑ Baire, R.: Sur les fonctions de variables réelles. "Annali di Mat." (3) 3 (1899), s. 1-123.
- ↑ Lebesgue, H.: Sur les fonctions représentables analytiquement. "Journ. de Math." (6) 1 (1905), s. 139-216.
- ↑ Banach, S.: Über analytisch darstellbare Operationen in abstrakten Räumen. "Fundamenta Mathematicae" 17 (1931), s. 283-295.
- Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001. ISBN 83-01-13554-9.