Web Analytics

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Brzeg (topologia) - Wikipedia, wolna encyklopedia

Brzeg (topologia)

Z Wikipedii

Ujednoznacznienie
Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Brzeg zbioru (figury, bryły) F w geometrii lub topologii oznacza zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których dowolne otoczenie zawiera zarówno punkty należące do zbioru F, jak i nie należące do tego zbioru. Brzeg zbioru F zazwyczaj oznaczamy \mbox{bd}\,F, \mbox{fr}\,F, \partial F. Punkty należące do brzegu zbioru nazywamy punktami brzegowymi zbioru. Na rysunku punkt B jest punktem brzegowym figury.

Spis treści

[edytuj] Przykłady

Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:

  • \mbox{bd}\,(0,5) = \mbox{bd}\,[0,5) = \mbox{bd}\,(0,5] = \{0,5\},
  • \mbox{bd}\,\varnothing = \varnothing,
  • \mbox{bd}\,\left\{1, {1 \over 2}, {1 \over 3}, {1 \over 4}, ...\right\} = \{0\}\cup \left\{1, {1 \over 2}, {1 \over 3}, {1 \over 4}, ...\right\},
  • \mbox{bd}\,\mathbb Q = \mathbb R,
  • \mbox{bd}\,(\mathbb R \setminus \mathbb Q) = \mathbb R.

Ostatnie trzy przykłady pokazują, że brzeg zbioru może być zbiorem "większym" niż sam zbiór.

[edytuj] Własności

  • Brzeg zbioru jest zbiorem domkniętym.
  • Brzeg zbioru i brzeg jego dopełnienia są równe: \mbox{bd}\,S = \mbox{bd}\,(X \setminus S).
  • Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swój brzeg.
  • Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem.
  • Domknięcie zbioru jest równe sumie zbioru i jego brzegu.
  • Brzeg zbioru jest zbiorem pustym wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty.
  • W przestrzeni euklidesowej każdy zbiór domknięty jest brzegiem pewnego zbioru.

Poniższe zależności pozwalają zdefiniować brzeg zbioru w inny sposób:

  • \mbox{bd}\,S = \overline{S} \cap \overline{ (X \setminus S)}
  • \mbox{bd}\,S = \overline{S}\setminus S^\circ.

\overline{\ }\, oraz {\ }^\circ\, oznaczają tutaj operacje domknięcia i wnętrza.

Zdefiniowane wyżej pojęcie brzegu zbioru w istotny sposób zależy od topologii przestrzeni w jakiej dany zbiór się znajduje. Jako przykład niech posłuży koło

K_2=\{(x,y)\in R^2:x^2+y^2\le 1\}.

W naturalnej topologii przestrzeni \mathbb R^2 brzeg koła tworzy okrąg K2:

\overline{K_2}=\{(x,y)\in R^3:x^2+y^2 = 1\}.

Zanurzenie K w \mathbb R^3 powoduje, iż koło

K_3=\{(x,y,0)\in R^3:x^2+y^2\le 1\}, jest swoim własnym brzegiem – \mbox{bd}\, K_3 = K_3.

natomiast w topologii \mathbb R^3 zrelatywizowanej do K jego brzeg jest zbiorem pustym.

[edytuj] Złożenia funkcji brzegu

Dla dowolnego zbioru S mamy \mbox{bd}\,S \supseteq \mbox{bd}(\mbox{bd}\, S), przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy brzeg zbioru S nie zawiera żadnych punktów wewnętrznych, tj. jest zbiorem brzegowym. Ma to miejsce na przykład wtedy, gdy S jest zbiorem otwartym lub domkniętym. Z kolei, ponieważ brzeg jest zbiorem domkniętym, mamy \mbox{bd}(\mbox{bd}\,S)=\mbox{bd}(\mbox{bd}(\mbox{bd}\,S)) dla dowolnego zbioru S.

Omawiane tu pojęcie brzegu różni się od tego, z którym spotykamy się w teorii rozmaitości lub topologii algebraicznej podczas badania kompleksów symplicjalnych.

[edytuj] Zobacz też

wnętrze, zewnętrze.


aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -