Brzeg (topologia)
Z Wikipedii
Brzeg zbioru (figury, bryły) F w geometrii lub topologii oznacza zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których dowolne otoczenie zawiera zarówno punkty należące do zbioru F, jak i nie należące do tego zbioru. Brzeg zbioru F zazwyczaj oznaczamy . Punkty należące do brzegu zbioru nazywamy punktami brzegowymi zbioru. Na rysunku punkt B jest punktem brzegowym figury.
Spis treści |
[edytuj] Przykłady
Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Ostatnie trzy przykłady pokazują, że brzeg zbioru może być zbiorem "większym" niż sam zbiór.
[edytuj] Własności
- Brzeg zbioru jest zbiorem domkniętym.
- Brzeg zbioru i brzeg jego dopełnienia są równe: .
- Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swój brzeg.
- Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem.
- Domknięcie zbioru jest równe sumie zbioru i jego brzegu.
- Brzeg zbioru jest zbiorem pustym wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty.
- W przestrzeni euklidesowej każdy zbiór domknięty jest brzegiem pewnego zbioru.
Poniższe zależności pozwalają zdefiniować brzeg zbioru w inny sposób:
- .
oraz oznaczają tutaj operacje domknięcia i wnętrza.
Zdefiniowane wyżej pojęcie brzegu zbioru w istotny sposób zależy od topologii przestrzeni w jakiej dany zbiór się znajduje. Jako przykład niech posłuży koło
W naturalnej topologii przestrzeni brzeg koła tworzy okrąg K2:
Zanurzenie K w powoduje, iż koło
- jest swoim własnym brzegiem – .
natomiast w topologii zrelatywizowanej do K jego brzeg jest zbiorem pustym.
[edytuj] Złożenia funkcji brzegu
Dla dowolnego zbioru S mamy , przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy brzeg zbioru S nie zawiera żadnych punktów wewnętrznych, tj. jest zbiorem brzegowym. Ma to miejsce na przykład wtedy, gdy S jest zbiorem otwartym lub domkniętym. Z kolei, ponieważ brzeg jest zbiorem domkniętym, mamy dla dowolnego zbioru S.
Omawiane tu pojęcie brzegu różni się od tego, z którym spotykamy się w teorii rozmaitości lub topologii algebraicznej podczas badania kompleksów symplicjalnych.