Grupa czwórkowa Kleina
Z Wikipedii
Czwórkowa grupa Kleina V lub po prostu grupa Kleina jest najmniejszą grupa niecykliczna, mającą łącznie cztery elementy. Grupa Kleina jest grupą abelową, izomorficzną z iloczynem prostym grup 
. Nazwa grupy pochodzi od Felixa Kleina, niemieckiego matematyka, który jako pierwszy opisał jej własności w wydanej w roku 1884 książce Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (Wykłady o iksoadrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia).
Jedyną inną grupą rzędu cztery jest grupa cykliczna Z4.
Oto tabela dla działania w grupie Kleina:
 |
1 | a | b | ab |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | a | b | ab |
| a | a | 1 | ab | b |
| b | b | ab | 1 | a |
| ab | ab | b | a | 1 |
Grupa Kleina jest izomorficzna z grupą symetrii rombu (lub prostokąta) na płaszczyźnie, której elementami są identyczność, symetria względem osi pionowej, symetria względem osi pionowej i obrót o 
.
Oto reprezentacja grupy Kleina w grupa permutacji Σ4:
- V = {id,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}
V jest dzielnikiem normalnym grupy alternującej A4 (i grupy Σ4). Z teorii Galois wynika, że właśnie istnienie grupy Kleina zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki.
