Grupa obrotów

Z Wikipedii

Macierze obrotu w przestrzeni n-wymiarowej tworzą grupę O(n), jeżeli spełniają warunek zachowania długości wektora przy obrotach

$x^i \rightarrow {x'}^i = R^i_j x^j ,$ $\sum_{i}^n (x^i)^2 = \sum_{i}^n ({x'}^i)^2$

(i=1..n). Daje to warunek $R T R = I$ gdzie macierz transponowana $(R^T)^i_j=R^j_i$ . Ponieważ macierz odwrotna spełnia równanie $R - 1 R = I$ , to dla grupy obrotów $R - 1 = R T$ . W zbiorze macierzy ortogonalnych O(n) istnieje element neutralny (macierz jednostkowa I), element odwrotny $R - 1 R = I$ , a mnożenie dwóch macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną. Zachodzi zatem:

jeżeli $R$ i $S$ są macierzami ortogonalnymi to $U = R S$ też jest macierzą ortogonalną
istnieje element neutralny $R = I$ , który też jest macierzą ortogonalną
istnieje element odwrotny $R - 1 = R T$ .

Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy grupę. Dodatkowy warunek $d e t (R) = 1$ definiuje podgrupę SO(n). W eulkidesowej przestrzeni 3-wymiarowej realizują się grupa O(3) i jej podgrupa SO(3).

Element grupy SO(3), $R$ można parametryzować w sposób ciągły przez trzy parametry wektor $α$ , oś obrotu $ω$ i kąt obrotu ψ (przy czym $α i = ω i ψ$ , $ω 1 = sin(θ)sin(φ)$ , $ω 2 = sin(θ)cos(φ)$ , $ω 3 = cos(θ)$ ).

$R=e^{i\sum_{a}^{3}T^a \alpha^a}$

Trzy macierze $T a$ nazywamy generatorami grupy obrotów. Grupa obrotów SO(3) jest ciągłą. Generatory grupy SO(3) to:

$T^1=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix},\ T^2=\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}, \ T^3=\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$

Generatory te spełniają regułę komutacji

[T^a,T^b] = i	∑	ε_abcT^c
	c

gdzie ε jest symbolem antysymetrycznym równym 1,-1 w zależności czy (a b c) jest parzystą czy nieparzystą permutacją (1 2 3) lub 0 gdy dwa lub trzy wskaźniki są takie same.

Generatory grupy SO(n) rozpinają algebę liniową so(n) z mnożeniem zdefiniowanym jako komutator $A\times B$ =[A B - B A] (komutator). Jest to algebra Liego.

Bardzo podobne relacje w mechanice kwntowej spełnia operator momentu pędu $\vec{L}=\vec{x}\times \vec{p}$ (z dokładnością do stałej Plancka $\hbar$ ). Operator ten jest reprezentacją algebry so(3) w przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem $L 2$ . Z własności tej algebry (i grupy SO(3) ) wynika niemożność jednoczesnego pomiaru wszystkich składowych momentu pędu w mechanice kwantowej (odpowiednia zasada nieoznaczoności). Identyczne reguły komutacyjne spełnia operator spinu (jest to konsekwencją algebry Liego su(2) dla grupy nakrywającej SU(2)).