Odkształcenie

Z Wikipedii

Odkształcenie – miara deformacji ciała poddanego siłom zewnętrznym.

Aby moć mówić o odkształceniu, należy wyróżnić dwa stany ciała: początkowy i końcowy. Na podstawie różnic w położeniach punktów w tych dwóch stanach można wyznaczać liczbowe wartości odkształcenia.

Zależność pomiędzy stanem odkształcenia, a naprężenia określa m.in. Prawo Hooke'a.

Spis treści

1 Odkształcenie liniowe osiowe
2 Odkształcenie liniowe - przypadek ogólny
3 Odkształcenie postaciowe
4 Odkształcenie objętościowe
5 Zapis tensorowy
6 Przypadek dużych odkształceń

[edytuj] Odkształcenie liniowe osiowe

Przy rozpatrywaniu uproszczonego przypadku rozciągania, bądź ściskania, czyli odkształcenia liniowego pręta tylko wzdłuż jego długości, biorąc pod uwagę dwa dowolnie wybrane punkty wewnątrz nieobciążonego ciała, można określić odległość pomiędzy nimi. W chwili obciążenia tego ciała siłami zewnętrznymi następuje jego deformacja, a w wyniku tego zmienia się odległość pomiędzy rozpatrywanymi punktami. Odkształcenie liniowe ε w dowolnym punkcie ciała jest granicą ilorazu różnicy odległości do odległości wyjściowej, gdy odległość wyjściowa zmierza do zera.

$\varepsilon = \mathop {\lim_{L \to 0}} \frac {{\Delta} {L} } {L}$

Innymi słowy przy definicji odkształcenia w punkcie rozważa się zmiany odległości w bezpośrednim otoczeniu tego punktu.

[edytuj] Odkształcenie liniowe - przypadek ogólny

Dla ciała o dowolnym kształcie, poddanego dowolnej deformacji wartości odkształcenia liniowego mogą być różne w zależnośći od kierunku w jakim są badane. Jeśli rozpatrujemy odkształcenie liniowe w punkcie A położonym w początku układu wspołrzędnych i obierzemy punkt B leżący na osi x układu, który pod wpływem obciążenia przemieścił się do B' to odkształcenie liniowe można zapisać jako:

$\varepsilon_x = \mathop {\lim_{B \to A}}{{|AB'|-|AB|} \over {|AB|}}$

Przeprowadzając podobną analizę dla osi y i z można otrzymać odpowiednio ε_y i ε_z. Mając dane pole przemieszczeń $\overrightarrow u$ (czyli wartości wektora przemieszczenia dla wszystkich punktów ciała) można zapisać odkształcenia liniowe jako:

$\varepsilon_x = {{\partial u_x} \over {\partial x}}$ ; $\varepsilon_y = {{\partial u_y} \over {\partial y}}$ ; $\varepsilon_z = {{\partial u_z} \over {\partial z}}$

[edytuj] Odkształcenie postaciowe

Podobnie rozważa się zmiany miar kątowych w bezpośrednim otoczeniu punktu. Odkształcenie kątowe γ jest granicą ilorazu różnicy kata pomiędzy dwoma dowolnie wybranymi odcinakami w ciele nieobciążonym i obciążonym, gdy długości tych odcinków zmierzają do zera. Mając dane pole przemieszczeń jak wyżej można zapisać:

$\gamma_{xy} = {{\partial u_x} \over {\partial y}} + {{\partial u_y} \over {\partial x}}$ ; $\gamma_{yz} = {{\partial u_y} \over {\partial z}} + {{\partial u_z} \over {\partial y}}$ ; $\gamma_{xz} = {{\partial u_x} \over {\partial z}} + {{\partial u_z} \over {\partial x}}$

[edytuj] Odkształcenie objętościowe

Chociaż odkształcenia liniowe ε i kątowe γ w pełni definiują stan odkształcenia, możliwe jest wyznaczenie innych charakterystycznych wartości odkształceń. Jednym z nich jest odkształcenie objętościowe, które jest miarą zmiany objętości ciała. Z definicji odkształcenie objętościowe to:

$\vartheta = \lim_{V^{(0)} \to 0}{V - V^{(0)} \over {V^{(0)}}}$

gdzie: V⁽⁰⁾ - objętość początkowa, V - objętość końcowa

Można udowodnić, że w układzie kartezjańskim:

$\vartheta = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z$

[edytuj] Zapis tensorowy

Stosując jednolite oznaczenie dla obu typów odkształceń można zapisać odkształcenie w postaci tensora odkształcenia:

$\varepsilon_{ij} = {1 \over 2} \left({\nabla_i u_j + \nabla_j u_i}\right)$ ,

lub w notacji tensorowej:

$\varepsilon = {1 \over 2} ( \vec{\nabla}\vec{u} + (\vec{\nabla}\vec{u})^T)$

Porównując zapis tensorowy z tradycyjnym, dla przypadku kartezjańskiego układu współrzędnych, otrzymuje się:

$\varepsilon_{ij}= \left[{\begin{matrix} {\varepsilon _x } & {{{\gamma _{xy} } \over 2}} & {{{\gamma _{xz} } \over 2}} \\ {{{\gamma _{xy} } \over 2}} & {\varepsilon _y } & {{{\gamma _{yz} } \over 2}} \\ {{{\gamma _{xz} } \over 2}} & {{{\gamma _{yz} } \over 2}} & {\varepsilon _z } \end{matrix}}\right]$

Odkształcenie objętościowe : $\vartheta = \varepsilon_{ij}g^{ij}$ ,

gdzie: g^ij - kontrawariantny tensor metryczny lub w notacji tensorowej: $\vartheta = tr(\varepsilon)$

[edytuj] Przypadek dużych odkształceń

Powyższe rozważania dotyczą tzw. przypadku małych odkształceń. Oczywiście jest dyskusyjnym, co można nazywać małymi odkształceniami. Nie ma tu konkretnych rozgraniczeń, należy być jednak świadomym rosnących błędów wraz ze wzrostem odkształceń.

Dla dużych odkształceń tensor odkształcenia można opisać jako:

$\varepsilon_{ij} = {1 \over 2}({g_{ij}-g_{ij}^{(0)}})$

gdzie: g_ij - tensor metryczny układu współrzędnych związanego z ciałem odkształconym, g_ij⁽⁰⁾ - tensor metryczny układu współrzędnych związanego z ciałem nieodkształconym

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../o/d/k/Odkszta%C5%82cenie.html"

Kategoria: Mechanika