Pojęcie pierwotne

Z Wikipedii

Pojęcie pierwotne – obiekt w teorii sformalizowanej, o którym mówi ona w swych aksjomatach, konstruując wypowiedzi (twierdzenia) zgodnie z przyjętymi w tej teorii regułami wnioskowania. Pojęcia pierwotnego nie definiuje się językiem teorii, tylko podaje się definicję znaczeniową; przez podanie informacji (lub wymagań) o relacjach, w których występuje.

[edytuj] Intuicje

Przykłady:

w podanej przez Euklidesa teorii geometrii euklidesowej pojęciami pierwotnymi są punkty, proste i relacja punkt $p$ leży na prostej $\ell$ ,
w naiwnej teorii mnogości pojęciami pierwotnymi są zbiory i relacja należenia.

W celu zrozumienia istoty aksjomatów teorii i wnioskowań formalnych na nich opartych, zwykle konieczne jest podanie wyjaśnienia, jak należy interpretować dane pojęcie pierwotne. Wyjaśnienie takie w żadnym razie nie może być uznane za definicję, cenne jest jednak z uwagi na swój dydaktyczny charakter. W intuicyjnym zrozumieniu pojęcia pomocne mogą być też przykłady – na przykład – przybliżyć pojęcie zbioru można poprzez podanie przykładów, takich jak zbiór liczb naturalnych większych od trzech czy zbiór ludzi o nazwisku Kowalski.

[edytuj] Punkt widzenia współczesnej logiki matematycznej

Termin pojęcie pierwotne był w powszechnym użyciu w okresie poprzedzającym formalizację logiki matematycznej, jednak we współczesnych badaniach naukowych używa się go bardzo rzadko (jeśli w ogóle). Spowodowane to jest faktem, że w ujęciu formalnym każdemu z potencjalnych pojęć pierwotnych odpowiada element pewnego alfabetu $τ$ (tzn. zbioru symboli relacyjnych, symboli funkcyjnych, symboli dla stałych, itp). Zamiast mówić, że pojęciami pierwotnymi naszej teorii $T$ są... stwierdzamy iż $T$ jest teorią w języku ${\mathcal L}(\tau)$ . Np. o teorii mnogości ZFC mówimy, że jest to teoria w języku pierwszego rzędu ${\mathcal L}(\in)$ . W starym podejściu powiedzielibyśmy że $\,\in\,$ jest pojęciem pierwotnym. (Zwróćmy uwagę, że w ZFC każdy obiekt jest zbiorem, więc w alfabecie tej teorii nie ma specjalnego predykatu na $x$ jest zbiorem).

Warto zauważyć, że czasami jest wygodnie użyć terminu pojęcie pierwotne, szczególnie gdy używamy logik wielosortowych albo gdy rozważana teoria jest związana w pewnym sensie z inną powszechnie znaną. I tak:

Możemy formalizować geometrię euklidesową na gruncie logiki dwusortowej i zamiast mówić, iż mamy dwa rodzaje obiektów, możemy stwierdzić, że mamy dwa pojęcia pierwotne (punkty i proste).
Wprowadzając teorię mnogości Morse'a-Kelley'a, możemy stwierdzić, że pojęcia pierwotne tej teorii to relacja należenia i klasa, podkreślejąc tym samym, że zbiory są tutaj obiektami wtórnymi (tzn. zdefiniowanymi). Ale, podobnie jak i ZFC, jest to teoria w języku ${\mathcal L}(\in)$ .

W kontekście logiki matematycznej należy zwrócić uwagę, że gdy podajemy modele danej teorii, to interpretujemy wszystkie symbole z alfabetu danej teorii, czyli w pewnym sensie określamy je. Absolutnie nie powinno to być rozumiane jako definiowanie pojęć pierwotnych, jest to całkowicie inna procedura. Ma ona zwykle na celu albo praktyczne wyjaśnienie pojęć (jak np. w geometrii) albo dowód niesprzeczności teorii.

Warto też zauważyć, że pojęcia pierwotne w ramach jednej teorii mogą być pojęciami definiowalnymi w innej (na innym poziomie logicznym). Na przykład prosta jest pojęciem pierwotnym w geometrii euklidesowej ale w geometrii analitycznej jest ona definiowana jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Podobnie w teorii liczb uważamy liczby za pojęcia pierwotne, ale w teorii mnogości liczby definiuje się za pomocą zbiorów (ogólnie taka jest też "ostateczna" definicja liczby).