Przedział ufności

Z Wikipedii

Przedział ufności jest podstawowym narzędziem estymacji przedziałowej. Pojęcie to zostało wprowadzone do statystyki przez amerykańskiego matematyka polskiego pochodzenia Jerzego Spławę-Neymana.

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady przedziałów ufności
- 2.1 Przedział ufności dla wartości oczekiwanej (średniej)
  - 2.1.1 Rozkład normalny
    - 2.1.1.1 Znane odchylenie standardowe
- 2.2 Przedział ufności dla wariancji
3 Minimalna liczebność próby
4 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Przedział ufności Niech cecha X ma rozkład w populacji z nieznanym parametrem θ. Z populacji wybieramy próbę losową (X₁, X₂, ..., X_n). Przedziałem ufności (θ - θ₁, θ + θ₂) o współczynniku ufności 1 - α nazywamy taki przedział (θ - θ₁, θ + θ₂), który spełnia warunek:

P (θ 1 < θ < θ 2) = 1 - α

gdzie θ₁ i θ₂ są funkcjami wyznaczonymi na podstawie próby losowej.

Podobnie jak w przypadku estymatorów definicja pozwala na dowolność wyboru funkcji z próby, jednak tutaj kryterium wyboru najlepszych funkcji narzuca się automatycznie - zazwyczaj będziemy poszukiwać przedziałów najkrótszych.

Współczynnik ufności 1 - α jest wielkością, którą można interpretować w następujący sposób: jest to prawdopodobieństwo, że rzeczywista wartość parametru θ w populacji znajduje się w wyznaczonym przez nas przedziale ufności. Im większa wartość tego współczynnika, tym szerszy przedział ufności, a więc mniejsza dokładność estymacji parametru. Im mniejsza wartość 1 - α, tym większa dokładność estymacji, ale jednocześnie tym większe prawdopodobieństwo popełnienia błędu. Wybór odpowiedniego współczynnika jest więc kompromisem pomiędzy dokładnością estymacji a ryzykiem błędu. W praktyce przyjmuje się zazwyczaj wartości: 0,99; 0,95 lub 0,90, zależnie od parametru.

[edytuj] Przykłady przedziałów ufności

Ponieważ szukamy jak najkrótszych przedziałów ufności, dlatego przy wyznaczaniu przedziału staramy się wykorzystać jak najwięcej dostępnych informacji o rozkładzie cechy w populacji. Jeśli np. cecha ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym σ, to zastosowanie wzoru na przedział ufności dla nieznanego σ również da poprawny wynik, jednak przedział otrzymany tą metodą będzie szerszy, czyli mniej dokładny. Z kolei wzory ogólniejsze, np. dla nieznanego rozkładu, często korzystają z rozkładów granicznych estymatorów i dlatego wymagają dużej liczebności próby.

[edytuj] Przedział ufności dla wartości oczekiwanej (średniej)

[edytuj] Rozkład normalny

[edytuj] Znane odchylenie standardowe

Cecha ma w populacji rozkład normalny N(m, σ), przy czym odchylenie standardowe σ jest znane. Przedział ufności dla parametru m tego rozkładu ma postać:

$\left( \overline{X} - u_{\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \overline{X} + u_{\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$
lub równoznacznie: $\left( \overline{X} - u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \overline{X} + u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

gdzie:

n to liczebność próby losowej
$\overline{X}$ oznacza średnią z próby losowej
s to odchylenie standardowe z próby
$u α$ jest statystyką, spełniającą warunek:

P ( - u α < U < u α) = 1 - α

gdzie U jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(0, 1).

$u_{\frac{\alpha}{2}}$ oraz $u_{1 - \frac{\alpha}{2}}$ to kwantyle rzędów odpowiednio $\frac{\alpha}{2}$ i $1 - \frac{\alpha}{2}$ rozkładu N(0, 1)

[edytuj] Przedział ufności dla wariancji

Poniższy wzór pozwala wyznaczyć przedział ufności dla wariancji w populacji o rozkładzie normalnym N(m, σ)

$P \left( \frac{(n - 1)s^2}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}, n - 1}} < \sigma^2 < \frac{(n - 1)s^2}{\chi^{2}_{1 - \frac{\alpha}{2}, n - 1}} \right)= 1 - \alpha$

gdzie:

n to liczebność próby losowej
s to odchylenie standardowe z próby
$\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}, n - 1}$ i $\chi^{2}_{1 - \frac{\alpha}{2}, n - 1}$ to statystyki spełniające odpowiednio równości:

$P \left( \chi^2 \ge \chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}, n - 1} \right) = \frac{\alpha}{2}$

$P \left( \chi^2 \ge \chi^{2}_{1 - \frac{\alpha}{2}, n - 1} \right) = 1 - \frac{\alpha}{2}$

gdzie $χ 2$ ma rozkład chi-kwadrat z n - 1 stopniami swobody

[edytuj] Minimalna liczebność próby

Jeśli chcemy oszacować parametr z określoną dokładnością d, możemy, po odpowiednich przekształceniach wzorów na przedziały ufności, wyznaczyć liczebność próby losowej potrzebną do osiągnięcia zakładanej dokładności.

Przykład: Wiemy, że wzrost Wikipedystów ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym 25,28 cm (dane chyba nieprawdziwe). Obliczmy ilu Wikipedystów wystarczy zmierzyć, aby z prawdopodobieństwem 95% wyznaczyć średni wzrost Wikipedysty z dokładnością do 5 cm.

Jeśli chcemy uzyskać dokładność 5 cm, należy zadbać o to, aby połowa długości przedziału ufności była mniejsza lub równa niż 5 cm. Ze wzoru na przedział ufności dla rozkładu normalnego o znanym odchyleniu standardowym wynika, że dokładność estymacji powinna spełniać zależność:

$d \ge u_{\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Przekształcamy podaną nierówność uzyskując pożądany wzór na liczebność próby:

$n \ge \frac{u_\alpha^2 \sigma^2}{d^2}$

Podstawiając do wzoru wartości σ = 25,28; d = 5 cm; u_α = 1,96 (wartość obliczona na podstawie tablic rozkładu normalnego), uzyskujemy minimalną wielkość próby na poziomie 99 Wikipedystów.

[edytuj] Zobacz też

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../p/r/z/Przedzia%C5%82_ufno%C5%9Bci.html"

Kategorie: Statystyka • Rachunek prawdopodobieństwa

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Przedział ufności

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Przykłady przedziałów ufności

[edytuj] Przedział ufności dla wartości oczekiwanej (średniej)

[edytuj] Rozkład normalny

[edytuj] Znane odchylenie standardowe

[edytuj] Przedział ufności dla wariancji

[edytuj] Minimalna liczebność próby

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach