Rozkład zmiennej losowej

Z Wikipedii

Rozkład zmiennej losowej – opis wartości przyjmowanych przez zmienną losową przy pomocy prawdopodobieństw z jakimi są one przyjmowane.

Spis treści

1 Definicja
2 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Rozkład zmiennej losowej $X$ (o wartościach rzeczywistych) to prawdopodobieństwo $P X$ określone na zbiorze borelowskich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych $R$ wzorem

P X (A) = P (X - 1 (A))

dla każdego podzbioru borelowskiego

A

zbioru

R

. Innymi słowy:

$P_X(A) = P(\{\omega\in\Omega : X(\omega)\in A\})$ .

$P$ oznacza tutaj prawdopodobieństwo na przestrzeni probabilistycznej $Ω$ , na której określona jest zmienna $X$ .

W skrócie zamiast

$P(\{\omega\in\Omega : X(\omega)\in A\})$

pisze się

$P(X\in A)$

[edytuj] Przypadek dyskretny

Jeżeli zmienna losowa X jest dyskretna, to jej rozkład jest w pełni określony przez liczby:

$p_i = P(\{\omega \in \Omega : X(\omega) = x_i\})$ ,

gdzie {x_i} jest zbiorem wszystkich wartości jakie przyjmuje zmienna X. Każda z liczb p_i jest nieujemna oraz ∑ p_i = 1. W tej sytuacji rozkładem zmiennej często nazywa się ciąg tych par (x_i, p_i), dla których p_i > 0.

[edytuj] Przykład 1

Niech $Ω = {0,1}$ , $P (0) = 0,5$ i $P (1) = 0,5$ . Jeżeli zmienna $X$ na $Ω$ określona jest równościami: $X (0) = 1$ i $X (1) = - 1$ , to jej rozkład $P X$ jest funkcją określoną następująco:

$P X (A) = 0$ jeśli $A$ nie zawiera -1 i nie zawiera 1,
$P X (A) = 0,5$ jeśli $A$ zawiera dokładnie jedną z liczb 1.-1,
$P X (A) = 1$ jeśli $A$ zawiera 1 oraz -1.

Niech $\Omega^\prime = \{0, 1, 2\}$ , $P (0) = 0,5$ ; $P (1) = 0$ i $P (2) = 0,5$ , a zmienna $Y$ na $\Omega^\prime$ będzie określona równościami: $Y (0) = 1$ , $Y (1) = 7$ i $Y (2) = - 1$ . Rozkład $P Y$ zmiennej $Y$ jest taki sam jak rozkład zmiennej $X$ , mimo że są to różne zmienne.

[edytuj] Przykład 2

Niech X oznacza zmienną losową, która przyjmuje wartość 1 jeśli w pojedynczym rzucie monetą wypadł orzeł i −1 jeśli wypadła reszka. Rozkład zmiennej X jest taki sam jak obu zmiennych z poprzedniego przykładu.

[edytuj] Dystrybuanta rozkładu

Badanie rozkładu można uprościć, jeżeli rozważy się dystrybuantę $F X$ zmiennej losowej. Na przykład, dystrybuanta zmiennej z przykładu 2 to funkcja $F_X : R \rarr [0,1]$ określona tak:

$F X (x) = 0$ dla $x < - 1$
$F X (x) = 0,5$ dla $-1 \le x < 1$
$F X (x) = 1$ dla $x \ge 1$

Korzystając z dystrybuanty, możemy obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń postaci $\{\omega \in \Omega : a < X(\omega) \le b\} = F_X(b) - F_X(a)$ . Dystrybuanta w pełni wyznacza rozkład zmiennej losowej – dwie zmienne mające taką samą dystrybuantę mają ten sam rozkład.