Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Z Wikipedii

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie jest twierdzeniem geometrii euklidesowej płaszczyzny

Spis treści 1 Teza 2 Dowód 2.1 Sposób 1. 2.2 Sposób 2. 3 Zobacz też

[edytuj] Teza

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:

.

[edytuj] Dowód

[edytuj] Sposób 1.

Z punktu A prowadzimy półprostą prostopadłą do dwusiecznej CD w punkcie O, przecina ona również przedłużenie boku BC w pewnym punkcie B'. Zauważmy, że | AO | = | OB' | i | AC | = | B'C | .

Poprowadźmy przez B' prostą równoległą do boku AB – przecina ona prostą CD w pewnym punkcie D'. Trójkąty ΔADO i ΔB'D'O są przystające, a więc | D'B' | = | AD | . Z podobieństwa trójkątów ΔDBC i ΔD'B'C wynika teraz, że:

,

czyli

[edytuj] Sposób 2.

Niech .

Na mocy twierdzenia Snelliusa zastosowanego do trójkątów ΔADC i ΔDBC mamy:

, a także

.

Po podzieleniu stronami powyższych równości otrzymujemy tezę: .

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki.