Aritmética modular
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Aritmética Modular, também conhecida como aritmética do relógio ou calculadora-relógio, foi inventada por Johann Carl Friedrich Gauss no século XVIII.
O princípio da calculadora-relógio é idêntico ao de um relógio comum: se um relógio marca nove-horas e adicionamos cinco horas, o ponteiro das horas avança até duas horas. Desta forma a calculadora-relógio nos fornece a resposta 2, e não 14.
Pode-se resolver a calculadora-relógio através da aritmética convencional, através da operação:
No exemplo acima o dividendo 14 dividido pelo divisor 4 fornece um quociente 3 com resto 2. O resto desta divisão é o resultado em aritmética modular,e matemáticamente pode expressar-se por 14 mod 3 = 2
Gauss percebeu que relógios nada tinham de especial e desenvolveu a aritmética do relógio, também chamada de aritmética modular, com relógios que contivessem qualquer número de horas. Desta forma se inserirmos o número 11 numa calculadora-relógio dividida em 4 horas, a resposta será 3 horas, já que 11 deixa resto 3 ao ser dividido por 4. A descoberta foi importante para matemática na virada do século XIX e são essenciais hoje para a segurança na Internet, que utiliza as calculadoras-relógio que contêm mais horas que o número de átomos no universo observável.
Exemplo:
- Aritmética Convencional:
- Aritmética Modular:
