Desvio padrão

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Em probabilidade e Estatística, o desvio padrão é a medida mais comum da dispersão estatística. O desvio-padrão define-se como a raiz quadrada da variância. É definido desta forma de maneira a dar-nos uma medida da dispersão que seja:

um número não negativo;
use as mesmas unidades de medida que os nossos dados.

Faz-se uma distinção entre o desvio padrão σ (sigma) do total de uma população ou de uma variável aleatória, e o desvio padrão s de um sub-conjunto em amostra.

O termo desvio padrão foi introduzido na estatística por Karl Pearson no seu livro de 1894: "Sobre a dissecção de curvas de frequência assimétricas".

Índice

1 Definição e cálculo
- 1.1 Desvio padrão de uma variável aleatória
2 Propriedades
3 Ver também

[editar] Definição e cálculo

[editar] Desvio padrão de uma variável aleatória

O desvio padrão de uma variável aleatória X é definido como:

$\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}$

onde E(X) é o valor esperado de X.

Nem todas variáveis aleatórias possuem desvio padrão, desde que esses valores esperados não precisam existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma variável que flui em uma distribuição de Cauchy é indefinida.

Se uma variável aleatória X toma os valores x₁,...,x_N (que são números reais) com igual probabilidade, então seu desvio padrão pode ser computada como segue. Primeiro, a média de X, $\overline{x}$ , é definida como:

$\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N}$

(veja notação sigma). Depois, o desvio padrão simplifica-se em:

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$

Em outras palavras, o desvio padrão de uma variável aleatória uniformizada discreta X pode ser calculada como:

Para cada valor $x i$ calcula-se a diferença $x_i - \overline{x}$ entre $x i$ e o valor médio $\overline{x}$ .
Calcula-se o quadrado dessa diferença.
Encontra-se a média das diferenças dos quadrados. Esta quantidade é a variância. $σ 2$ .
Tome a raiz quadrática da variância.

[editar] Propriedades

A distribuição normal.

De uma distribuição normal unimodal, simétrica, de afunilamento médio (ou mesocúrtica) podemos dizer o seguinte:

68% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a um desvio padrão.
95% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a duas vezes o desvio padrão.
99,7% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a três vezes o desvio padrão.

Esta informação é conhecida como a regra dos "68-95-99,7".