Дисперсия случайной величины

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания. Обозначается $\operatorname{D}X$ в русской литературе и $\operatorname{var} X$ в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение $\sigma_X^2$ или $\displaystyle \sigma^2$ . Квадратный корень из дисперсии $\displaystyle \sigma$ называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.

[править] Определение

Пусть $\displaystyle X$ — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

$\operatorname{D}X = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^2\right],$

где символ $\mathbb{E}$ обозначает математическое ожидание.

[править] Замечания

В силу линейности математического ожидания справедлива формула:

$\operatorname{D}X = \mathbb{E}\left[X^2\right] - \left(\mathbb{E}X\right)^2;$

Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.

[править] Свойства дисперсии

Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: $\operatorname{D}X \geq 0;$
Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: $\operatorname{D}a = 0.$ Верно и обратное: если $\operatorname{D}X = 0$ , то $X = \mathbb{E}X$ п.н.
Пусть $\displaystyle X_1,\ldots, X_n$ — случайные величины, а $Y = \sum\limits_{i=1}^n a_i X_i,\; a_i\in \mathbb{R}$ — их произвольная линейная комбинация. Тогда

$\operatorname{D}Y = \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \operatorname{D} X_i + \sum\limits_{i\not = j} a_i a_j \operatorname{cov}(X_i,X_j) = \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \operatorname{D} X_i + 2 \sum\limits_{i < j} a_i a_j \operatorname{cov}(X_i,X_j),$

где $\operatorname{cov}(X_i,X_j)$ — ковариация случайных величин $\displaystyle X_i,\, X_j.$

В частности:

$\operatorname{D}\left[ X_1 + \cdots + X_n\right] = \operatorname{D}X_1 + \cdots + \operatorname{D}X_n$ ,

если $\displaystyle X_1,\ldots , X_n$ независимы;

$\operatorname{D} \left[aX\right] = a^2 \operatorname{D} X;$
$\operatorname{D}\left[-X\right] = \operatorname{D} X;$
$\operatorname{D}[X+b] = \operatorname{D}[X].$

[править] Пример

Пусть случайная величина $\displaystyle X$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на $\displaystyle [0,1],$ т. е. её плотность вероятности задана равенством