Hipérbole

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Nota: Se procura a figura de linguagem, consulte Hipérbole (figura de estilo).

Em matemática, uma hipérbole é um tipo de secção cônica definida como a intersecção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone.

Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.

Para uma prova geométrica simples de que as duas caracterizações acima são equivalentes, veja esferas de Dandelin.

Algebricamente, uma hipérbole é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

tal que $B 2 > 4 A C$ , onde todos os coeficientes são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (x,y) na hipérbole, existe.

[editar] Definições

A hipérbole também pode ser definida como o locus de pontos para os quais a razão das distâncias a um foco e a uma reta (chamada de diretriz) é uma constante maior que 1. Esta constante é considerada a excentricidade de hipérbole. Estes focos se encontram no eixo transversão e seu ponto médio é chamado de centro.

Uma hipérbole compreende duas curvas desconectadas, chamadas de "braços", que separam os focos. Conforme a distância dos pontos da hipérbole aos focos aumenta, a hipérbole começa a se aproximar de duas linhas, conhecidas como assíntotas.

Uma hipérbole possui a propriedade de que um raio, originando-se em um de seus focos, é refletido de tal forma que ele aparenta ter sido originado no outro foco.

Uma hipérbole ambigenal é uma das hipérboles triplas de segunda ordem, possuindo uma de suas quatro curvas infinitas aproximando-se com um ângulo com relação às assíntotas, e com a curva oposta se aproximando sem este ângulo. ^[1]

Hipérboles retangulares de unidade conjugadas

Um caso especial da hipérbole é a equilateral ou hipérbole retangular, na qual as assíntotas se intersectam em ângulos retos. A hipérbole retangular, com suas assíntotas coincidentes com os eixos coordenados, é dada pela equação xy=c, onde c é uma constante.

Assim como as funções seno e coseno geram uma equação paramétrica para a elipse, as funções seno hiperbólico e coseno hiperbólico também geram uma equação paramétrica para a hipérbole.

Se na equação da hipérbole invertermos as variáveis x e y, obteremos a hipérbole conjugada. Uma hipérbole e sua hipérbole conjugada possuem as mesmas assíntotas.

[editar] Equações

[editar] Cartesiana

Hipérbole de abertura leste-oeste:

$\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1$

Hipérbole de abertura norte-sul:

$\frac{\left( y-k \right)^2}{a^2} - \frac{\left( x-h \right)^2}{b^2} = 1$

Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo maior (metade da distância entre os dois ramos), e b é o semi-eixo menor. Note que b pode ser maior que a.

A excentricidade é dada por

$e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$