Алгебра над кольцом

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Вы получили новые сообщения (последнее изменение).

Пусть K — произвольное коммутативно-ассоциативное кольцо с единицей. Кольцо A (не обязательно ассоциативное) называется алгеброй над K или K-алгеброй, если для любых элементов $k\in K$ , $a\in A$ однозначно определено произведение $ka\in A$ , причем для всех $k,l\in K$ и $a,b\in A$ справедливы соотношения

$(k + l) a = k a + l a$
$k (a + b) = k a + k b$
$k (l a) = (k l) a$
Если существует элемент $e \in A$ такой, что $e a = a e = a$ для всех $a \in A$ , то $e$ называется единицей алгебры $A$ , а сама алгебра называется алгеброй с единицей.
$k (a b) = (k a) b = a (k b)$

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо последнего условия требуют более слабое:

k (a b) = (k a) b

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение $n a$ (где $n$ — целое число) обычно, то есть как сумму $n$ копий $a$ . Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

[править] Aлгебра над полем

Если K является полем, то, по определению, K-алгебра является векторным пространством над K, а значит, имеет базис. Это дает возможность строить алгебры над полем по базису, для чего достаточно задать таблицу умножения базисных элементов.

[править] Свойства

Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем $K$ можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над $K$ .