Кватернион

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Кватернио́ны — это система гиперкомплексных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном в 1843 году.

Умножение кватернионов не коммутативно, они образуют тело, которое обычно обозначается $\mathbb H$ .

Кватернионы очень удобны для описания изометрий трёхмерного и четырёхмерного Евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например при создании трёхмерной графики. ^[1]

[править] Определения

[править] Вектор-скаляр

Кватернион представляет собой пару $(a, \vec{u} )$ где $\vec{u}$ вектор трёхмерного пространства и $a\,$ скаляр, т. е. вещественное число. Операции сложения определены следующим образом:

$(a, \vec{u} )+ (b , \vec{v})= (a + b , \vec{u} + \vec{v})$

Произведение должно быть дистрибутивно и

$(a, 0)(0, \vec{v})=(0, \vec{v})(a, 0 )= (0, a\vec{v})$

$(a, 0)(b, 0)=(ab, 0)\,$

$(0, \vec{u} )(0, \vec{v})= ( - \vec{u}\cdot\vec{v} , \vec{u}\times\vec{v})$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение и $\times$ векторное произведение. Антикоммутативность векторного произведения в последнем определении влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

[править] Матричные

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычным матричным произведением и суммой:

$\begin{pmatrix} \;\;\alpha & \beta \\ -\bar \beta & \bar \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \;\;a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix},$

здесь $\bar \alpha$ и $\bar \beta$ обозначают комплексно-сопряжённые числа к $\,\alpha$ и $\, \beta$ .

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычным матричным произведением и суммой: $\begin{pmatrix} \;\; a & -b & \;\; d & -c \\ \;\; b & \;\; a & -c & -d \\ -d & \;\; c & \;\; a & -b \\ \;\; c & \;\; d & \;\; b & \;\; a \end{pmatrix}.$

[править] Стандартное

Кватернионы можно определить как формальную сумму $\,a+bi+cj+dk$ где $\,a, b, c, d$ есть четвёрка вещественных чисел и $\,i, j, k$ «мнимые единицы» с вот такой таблицей умножения:

·	$1$	$i$	$j$	$k$
$1$	$\,1$	$\,i$	$\,j$	$\,k$
$i$	$\,i$	$\,-1$	$\,k$	$\,-j$
$j$	$\,j$	$\,-k$	$\,-1$	$\,i$
$k$	$\,k$	$\,j$	$\,-i$	$\,-1$

например $\,ij=k$ , a $\,ji=-k$ .

[править] Связанные определения

Для кватерниона

$\,q=a+bi+cj+dk$ ,

кватернион $\,a$ называется скалярной частью $\,q$ , а кватернион $\,v=bi+cj+dk$ — векторной чатью. Если $\,v=0$ то кватернион называется чисто скалярным, а при $\,a=0$ чисто векторным. Kватернион

$\bar q=a-bi-cj-dk$

называется сопряженным к $\,q$ . Также как и для комплексных чисел

$|q|=\sqrt{q\bar q}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$

называется модулем $\,q$ . Если $\,|q|=1$ то $\,q$ называется единичным кватернионом. Из тождества четырёх квадратов вытекает, что $|p\cdot q|=|p|\cdot |q|$ , иными словами кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

[править] Кватернионы и повороты пространства

Кватернионы образуют четырёхмерное евклидово пространство. Любой поворот этого пространства относительно $\,0$ может быть записан в виде $q\mapsto \xi q \zeta$ , где $\,\xi$ и $\,\zeta$ пара единичных кватернионов, при этом пара $\,(\xi,\zeta)$ определяется с точностью до знака то есть один поворот определяют в точности две пары $\,(\xi,\zeta)$ и $\,(-\xi,-\zeta)$ . В частности из этого следует что группа Ли $SO(\R,4)$ поворотов $\R^4$ есть факторгруппа $S^3\times S^3/\Z_2$ , где $\,S^3$ обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное евклидово пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно $\,0$ может быть записан в виде $v\mapsto \xi v \bar\xi$ , где $\,\xi$ некоторый единичный кватернион. Соответственно, $SO(\R,3)=S^3/\Z_2$ , в частности $SO(\R,3)$ диффеоморфно $\R \mathrm{P}^3$ .

[править] Целые кватернионы

Целыми принято называть кватернионы $\,a+bi+cj+dk$ такие, что все $\,a,b,c,d$ — целые или все $a+\frac12,b+\frac12,c+\frac12,d+\frac12$ — целые.

Существует 24 целых единичных кватерниона:

$\pm 1$ , $\pm i$ , $\pm j$ , $\pm k$ , $\frac{\pm1\pm i\pm j\pm k}2$ ,

они образуют группу по умножению и лежат в вершинах правильного четырёхмерного многогранника — кубооктаэдра. Для целых кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики, то есть любой кватернион может быть записан в виде произведения простых кватернионов (притом единственным образом) по модулю домножения на единицы; например, если $\,q=p_1p_2p_3$ , где $\,p_1,p_2,p_3$ — простые, то

$q=(p_1\epsilon_1)(\bar\epsilon_1p_2\epsilon_2)(\bar\epsilon_2p_3)$

также разложение на простые сомножители $\,(p_1\epsilon_1)$ , $(\bar\epsilon_1p_2\epsilon_2)$ , $(\bar\epsilon_2p_3)$ . Забавно то, что в этом разложении порядок простых кватернионов также единственный.