Действие группы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Вы получили новые сообщения (последнее изменение).

Говорят, что группа $G$ действует на множестве $M$ , если задан гомоморфизм $\Phi:G\to S(M)$ из группы $G$ в группу $S (M)$ всех перестановок множества $M$ . Для краткости $(Φ(g))(m)$ часто записывают как $g m$ .

Другими словами, группа $G$ действует на множестве $M$ , если задано отображение $G\times M\to M$ (обозначаемое $(g,m)\mapsto gm$ ), такoe что

$(g h) m = g (h m)$ для всех $g,h\in G$ , $m\in M$ и
$e m = m,$ где $e$ есть единица $G$ .

Содержание

1 Типы действий
2 Орбиты
3 Стабилизаторы
4 Количество элементов в орбите
5 Примеры действий
- 5.1 Действия на себе

[править] Типы действий

Свободное, если для любых различных $g, h\in G$ и любого $m\in M$ выполняется $gm \ne hm$ .
Транзитивное если для любых $m,n\in M$ существует $g\in G$ такой, что $g m = n$ . Другими словами, действие транзитивно, если $G m = M$ для любого элемента $m\in M$ .
Эффективное, если для любых $g, h\in G$ существует $m\in M$ такой, что $g m = h m$ .

[править] Орбиты

Подмножество

$G m = \{ gm\mid g\in G \}\subset M$

называется орбитой элемента $m\in M$ .

Действие группы $G$ на множестве $M$ определяет на нём отношение эквивалентности

$\forall n, m\in M\qquad \left(n\sim_G m\right)\quad \Longleftrightarrow\quad \left(\exists g\in G\ \ gn=m\right)\quad\Longleftrightarrow\quad \left(Gn=Gm\right).$

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно $k$ , то

$M = Gm_1 \sqcup Gm_2 \sqcup \dots \sqcup Gm_k$ ,

где $m_1, m_2, \dots, m_k\in M$ попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия $k = 1$ .

[править] Стабилизаторы

Подмножество

$G_m = \{ g\in G\mid gm=m \}\subset G$

является подгруппой группы $G$ и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента $m\in M$ .

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если $n\sim_G m$ , то найдется такой элемент $g\in G$ , что

$G_m=g\, G_n\, g^{-1}.$

[править] Количество элементов в орбите

| G m | = [G : G m]

, где

[G : G m]

— индекс подгруппы $G_m\subset G$ , в случае конечных групп равен $\frac{|G|}{|G_m|}$ .

Если $M = Gm_1 \sqcup Gm_2 \sqcup \dots \sqcup Gm_k$ , то

$|M| = \sum_{t=1}^k [G:G_{m_t}]$ — формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества

$\forall m\in M\quad \sum_{n\in Gm} |G_n| = |G|$

$\sum_{m\in M} |G_m| = k |G|$

и лемму Бернсайда.

[править] Примеры действий

[править] Действия на себе

[править] Слева

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, $M = G$ и гомоморфизм $\Phi:G\to S(G)$ задан как $(Φ(g))(h) = g h$ .

[править] Справа

Аналогично определяется действие на себе справа, $(Φ(g))(h) = h g - 1$ .

[править] Сопряжениями

Пусть $M = G$ и гомоморфизм $\Phi:G\to S(G)$ задан как $(Φ(g))(h) = g h g - 1$ . При этом для каждого элемента $h\in G$ стабилизатор $G h$ совпадает с централизатором $C (h)$ :

$G_h = \{ g\in G\mid ghg^{-1}=h\} = \{ g\in G\mid gh=hg\} = C(h)$ .

Например, для элемента $h$ из центра группы $G$ (т.е. $h\in Z(G)$ ) $C (m) = G$ ), $G h = G$ .

[править] Слева и справа

Все эти два действия являются действиями подгрупп действия $G\times G$ на $M = G$ с гомоморфизмом $\Phi:G\times G\to S(G)$ заданым как $(\Phi(g_1,g_2))(h)=g_1 h g_2^{-1}$ .