Azione di gruppo

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In algebra, l'azione di gruppo è una mappa che permette di mettere in relazione gli elementi di un gruppo con quelli di un altro insieme. È così possibile ottenere una corrispondenza tra le proprietà del gruppo e quelle dell'insieme (che può, a seconda dei casi, essere dotato di altre strutture algebriche).

[modifica] Definizione

Siano $G$ un gruppo ed $A$ un insieme. Si dice azione di gruppo una funzione

$G \times A \longrightarrow A$

$(g,a) \mapsto g \cdot a$ ,

dove $\cdot$ è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:

$1_{G} \cdot a=a \ \ \ \forall a \in A$ ;
$g \cdot (h \cdot a)=(gh) \cdot a$ .

[modifica] Orbite

Data la relazione di equivalenza $α$

$x,y \in A, \ x \ \alpha \ y \ \ se \ \exists g \in G \ \ t.c. \ \ y=g \cdot x$

le classi di equivalenza così definite si dicono orbite.

Nel caso di un'azione di coniugio, le orbite prendono il nome di classi di coniugio.

[modifica] Stabilizzatore

Dato un punto $x \in A$ , si definisce stabilizzatore di $x$ il sottogruppo di $G$ formato dagli elementi che fissano $x$ :

$H_{x}={g \in G \ \ t.c. \ \ g \cdot x = x}$ .

Si può dimostrare che :

lo stabilizzatore di $G$ è un sottogruppo normale di $G$ ;
per un gruppo finito, dato $x_0 \in X$ , la sua orbita $O$ conta tanti elementi quanti il gruppo quoziente $\frac{G}{H_{x_0}}$ ; vale allora la seguente formula per il calcolo dell'ordine di $G$ :

$|G| = \sharp O_x \left | \frac{G}{H_x} \right|$ ,

dove $\sharp O_x$ è l'orbita a cui appartiene

x

[modifica] Azioni sinistre e destre

L'azione definita viene detta più propriamente azione a sinistra. Si può definire in maniera analoga una azione a destra $X \times G \rightarrow A$ di $G$ su $A$ , per la quale valgono risultati analoghi a quelli dell'azione a sinistra.

[modifica] Altre definizioni

Un'azione è fedele se è iniettiva per ogni punto $x \in A$ :

$\forall x \in A ,\, \forall h,g \in G ,\, g \cdot x = h \cdot x \Rightarrow h=g$ .

Un'azione è transitiva se esiste un'unica orbita:

$\forall x,y \in A \exists g \in G :\, y=g \cdot x$ .

Si dice punto fisso un elemento $x \in A$ che è lasciato invariato da tutti gli elementi di $G$ , ovvero tale che che la sua orbita si riduce al solo elemento ${x}$ :