Компактное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Компа́ктное простра́нство — это такое топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

В топологии, компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

[править] Связанные определения

Подмножество топологического пространства, являющееся в индуцированной топологии компактным пространством, называется компактным множеством или компактом. Множество называется относительно компактным или предкомпактным, если его замыкание компактно.

Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

[править] Свойства

• Общие свойства:
  • Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт.
  • Замкнутое подмножество компакта компактно.
  • Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
  • Теорема Тихонова: произведение произвольного числа компактных множеств (с топологией произведения) компактно .
  • Любое непрерывное взаимно однозначное отображение, определённое на компакте, является гомеоморфизмом.

• Свойства компактных метрических пространств:
  • Для конечномерных евклидовых пространств подпространство компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне-Бореля.
  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
  • Лемма Лебега: Для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия существует положительное число такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше , содержится в одном из множеств . Такое число называется числом Лебега.
  • В компактных пространствах каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
  • В компактных пространствах каждое семейство открытых множетсв, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение.
  • Теорема Больцано — Вейерштрасса: компактное пространство является секвенциально компактным, то есть из любой последовательности в компактном пространстве можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

[править] Примеры компактных множеств

• замкнутые и ограниченные множества в
• конечные подмножества в пространствах, удовлетворяющих аксиоме отделимости T₁
• теорема Асколи-Арцела даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство C(X) вещественных функций на метрическом компактном пространстве X с нормой . Тогда замыкание множества функций F в C(X) компактно тогда и только тогда, когда F равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
• пространство Стоуна булевых алгебр
• компактификация топологического пространства

[править] История

Бикомпактное пространство — термин, введённый П. С. Александровым как усиление введённого М. Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие. Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.

[править] Литература

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев. Задачный учебник по топологии
• Л.Шварц, Анализ, т. I, М., МИР, 1972.