Линейная интерполяция
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Линейная интерполяция — интерполяция алгебраическим многочленом P1(x) = ax + b функции f, заданной в двух точках x0 и x1 отрезка [a, b].
[править] Геометрическая интерпретация
Геометрически это означает замену графика функции f прямой, проходящей через точки (x0,f(x0)) и (x1,f(x1)).
Уравнение такой прямой имеет вид:
отсюда для ![x \in [x_0, x_1]](../../../math/f/4/2/f42ce47d818d368caab5d2bae32310a5.png)
Это и есть формула линейной интерполяции, при этом
где R1(x) — погрешность формулы:
![R_1(x) = \frac{f''(\psi)}{2}(x - x_0)(x - x_1),\quad \psi \in [x_0, x_1]](../../../math/3/0/0/300bfd865faed604a1fe82e88e331d02.png)
Справедлива оценка
![|R_1(x)|\leqslant \frac{M_2}{2} \max |(x - x_0)(x - x_1)| = \frac{M_2 h^2}{8},\quad M_2 = \max_{[a, b]} |f''(x)|,\quad h = x_1 - x_0.](../../../math/6/c/3/6c338d364b59738d3dc32adc7443e987.png)
[править] Применение
Линейная интерполяция применяется для уплотнения таблиц.
Формула линейной интерполяции является частным случаем интерполяционной формулы Лагранжа и интерполяционной формулой Ньютона.
