Метод моментов нахождения оценок

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ме́тод моме́нтов нахождения оценок в математической статистике - это способ построения оценок, основанный на уравнивании теоретических и выборочных моментов.

Содержание

1 Определение
2 Замечания
3 Состоятельность метода
4 Пример

[править] Определение

Пусть $X_1,\ldots,X_n$ - выборка из распределения $\mathbb{P}_{\theta}$ , зависящего от параметра $\theta \in \Theta \subset \mathbb{R}$ . Пусть есть функция $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , такая что $g (X 1)$ интегрируема относительно меры $\mathbb{P}_{\theta}$ , и

$\mathbb{E}_{\theta}\left[g(X_1)\right] = f(\theta)$ ,

где $f:\Theta \to \mathbb{R}$ - биекция. Тогда оценка

$\hat{\theta}_{\mathrm{MM}} = f^{-1}\left(\overline{g(X)}\right) \equiv f^{-1}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n g(X_i)\right)$

называется оценкой параметра $\theta \in \Theta$ методом моментов.

[править] Замечания

По построению, $\overline{g(X)} = f\left(\hat{\theta}_{\mathrm{MM}}\right)$ ,

то есть оценка методом моментов получается путём приравнивания теоретического среднего $g (X)$ с выборочным средним.

В качестве функции $g$ часто берут степенную функцию:

$g(x) = x^k,\; k \in \mathbb{N}$ .

[править] Состоятельность метода

Если $f \in C(\Theta)$ , то есть функция $f$ непрерывна, то оценка метода моментов состоятельна.

[править] Пример

Пусть $X_1,\ldots,X_n \sim \Gamma(\alpha,\beta)$ - выборка из гамма распределения с неизвестными параметрами $α$ и $β$ . Тогда

$\mathbb{E}[X_i] = \alpha \beta,\; \mathbb{E}\left[X_i^2\right]=\alpha(\alpha+1)\beta^2,\quad i=1,\ldots,n$ .

Тогда оценки метода моментов удовлетворяют системе уравнений:

$\left\{ \begin{matrix} \bar{X} = & \hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} \hat{\beta}_{\mathrm{MM}}\\ \overline{X^2} = & \hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} ( \hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} + 1 ) \left( \hat{\beta}_{\mathrm{MM}} \right)^2, \end{matrix} \right.$